3岐阜大学 2001年 数学 第3問解答・解説

(1) 定義により $m=3^a u,\quad n=3^b v$ と一意に書け、$3\nmid u,\quad3\nmid v$ である。$u,v$ は3で割った余りがそれぞれ1または2なので、$uv$ は3で割り切れない。したがって $mn=3^{a+b}(uv)$ は定義の一意な形であり、$f(mn)=a+b=f(m)+f(n)$。

(2) $n$ を3で割った余りを $r$ とすると、$r$ は $0,1,2$ のいずれかである。このとき、$r^3-r$ は $r=0,1,2$ に対してそれぞれ $0,0,6$ であり、いずれも3の倍数である。よって $n^3-n\equiv r^3-r\equiv0\pmod3$。さらに $n\ge2$ より $n^3-n=n(n-1)(n+1)>0$。定義による表示 $n^3-n=3^c k$（$3\nmid k$）では $c\ge1$ となるから、$f(n^3-n)=c\ge1$。