2岐阜大学 2001年 数学 第2問解答・解説

(1) $$P=(\cos(2t^\circ),\sin(2t^\circ)),\qquad Q=(2\sin(t^\circ),2\cos(t^\circ)).$$ ここで $t\geq0$ は出発後の時刻である。

(2) $$\begin{aligned} PQ^2 &=(\cos(2t^\circ)-2\sin(t^\circ))^2 +(\sin(2t^\circ)-2\cos(t^\circ))^2\\ &=5-4\{\cos(2t^\circ)\sin(t^\circ)+\sin(2t^\circ)\cos(t^\circ)\}\\ &=5-4\sin(3t^\circ)\geq1. \end{aligned}$$ 等号は $\sin(3t^\circ)=1$、すなわち $t=30+120k$（$k=0,1,2,\ldots$）で成り立つ。そのとき $$P=(\cos((60+240k)^\circ),\sin((60+240k)^\circ)),\qquad Q=2P,$$ よって最小距離は $1$。

(3) $OP=1,\ OQ=2$ で、偏角はそれぞれ $2t^\circ$ と $(90-t)^\circ$ である。二辺とその間の角による三角形の面積公式 $\displaystyle S=\frac12 ab\sin C$ より $$\displaystyle S=\frac12\cdot1\cdot2\left|\sin((90-3t)^\circ)\right| =|\cos(3t^\circ)|\leq1.$$ 等号は $t=60k$（$k=0,1,2,\ldots$）のときに成り立つ。このときの座標は $$P=(\cos((120k)^\circ),\sin((120k)^\circ)),\qquad Q=(2\sin((60k)^\circ),2\cos((60k)^\circ)).$$ したがって最大面積は $1$。