2神戸大学 2003年 数学 第2問解答・解説

ABを $x$ 軸とし、$A=(0,0),\ B=(2,0)$ とする。$\displaystyle \angle ABH=\frac{\pi}{4}$、$\displaystyle \angle AHB=\frac{\pi}{2}$ だから、三角形 $ABH$ は直角二等辺三角形であり、 $$AH=BH=\sqrt{2},\qquad H=(1,1).$$ また、$\displaystyle \angle CAB=\frac{\pi}{4}+\alpha$ であり、三角形 $ABC$ の内角和より $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ である。$X=(t,0)\ (0<t\leq1)$ とおくと $AX=t$ である。

円の中心を $P=(u,v)$ とする。$PA=PX$ より $\displaystyle u=\frac{t}{2}$。さらに $PA=PH$ より $$u^2+v^2=(u-1)^2+(v-1)^2,\qquad u+v=1.$$ したがって $$\displaystyle P=\left(\frac{t}{2},1-\frac{t}{2}\right),\qquad r^2=PA^2=\frac{t^2}{4}+\left(1-\frac{t}{2}\right)^2 =1-t+\frac{t^2}{2} =\frac{1}{2}+\frac{(1-t)^2}{2}.$$

(1) 三角形 $APH$ で $PA=PH=r,\ AH=\sqrt{2}$ である。余弦定理を $\angle PAH=\theta$ に用いると $$\displaystyle r^2=r^2+2-2\sqrt{2}\,r\cos\theta, \qquad\text{したがって}\qquad \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}\,r}.$$

(2) $\displaystyle \beta=\angle CAB=\frac{\pi}{4}+\alpha$ とし、$Y=s(\cos\beta,\sin\beta)\ (s=AY>0)$ とおく。$A$ を通るこの円の方程式は $x^2+y^2-2ux-2vy=0$ であるから、$Y$ を代入して $$s=2(u\cos\beta+v\sin\beta) =t\cos\beta+(2-t)\sin\beta =\sqrt{2}\{\cos\alpha+(1-t)\sin\alpha\}>0.$$ よって $$AX+AY=t+\sqrt{2}\{\cos\alpha+(1-t)\sin\alpha\} =t(1-\sqrt{2}\sin\alpha)+\sqrt{2}(\sin\alpha+\cos\alpha).$$ 半径の式と $0<t\leq1$ より $\sqrt{2r^2-1}=1-t$、すなわち $t=1-\sqrt{2r^2-1}$ である。これを代入すると $$AX+AY=1+\sqrt{2}\cos\alpha+\sqrt{2r^2-1}\,(\sqrt{2}\sin\alpha-1).$$

(3) $t$ は $0<t\le1$ の範囲で変わる。(2) が $t$ によらないための必要十分条件は、$t$ の係数が $0$ となることだから $$1-\sqrt{2}\sin\alpha=0.$$ $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ より $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4}$。このとき $AX+AY=2$ である。

直角二等辺三角形ABHを基準に座標を置く。円の中心を等距離条件から決めてrとAXを結び、円の方程式とACの半直線への代入からAYを求める。三角形の角条件でAYが正であることを確認したうえで、AX+AYのt依存性が消える条件を使う。