2岐阜大学 2002年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &(1) x=BD>0 とおく。\\ 5=DA^2&=AB^2+x^2-2AB\cdot x\cos45^\circ\\ &=4+x^2-2\sqrt{2}x,\quad x^2-2\sqrt{2}x-1=0,\\ x&=\sqrt{2}\pm\sqrt{3} だから BD=\sqrt{2}+\sqrt{3}.\\[4pt] &(2) \theta=\angle CBD とする。\\ \cos\theta&=\frac{BC^2+BD^2-CD^2}{2BC\cdot BD}\\ &=\frac{4+(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-3}{4(\sqrt{2}+\sqrt{3})}\\ &=\frac{3+\sqrt{6}}{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\\ &0^\circ<\theta<180^\circ より \theta=30^\circ.\\[4pt] &(3) 凸四角形なので BD は \angle ABC の内部にあり、\\ &\angle ABC=45^\circ+30^\circ=75^\circ.\\ \cos75^\circ&=\cos(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\\ AC^2&=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cos75^\circ\\ &=8-8\cos75^\circ=8+2\sqrt{2}-2\sqrt{6}. \end{aligned}$$