3岐阜大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(1) $x=\log_a b$ とおく。$a,b\ge2$ より $x>0$ であり、対数の性質から $\log_b a=1/x$、$\log_b a^2=2/x$。仮定を代入すると $$\displaystyle x>\frac2x+1.$$ $x>0$ なので両辺に $x$ を掛けて $$x^2-x-2=(x-2)(x+1)>0.$$ $x+1>0$ から $x-2>0$、すなわち $\log_a b>2$。

(2) (1)より $b>a^2$。条件 $3a>b$ と合わせて $$a^2<3a.$$ $a\ge2$ より $a<3$ で、$a$ は2以上の自然数だから $a=2$。さらに $$4=a^2<b<3a=6$$ より、自然数 $b$ は $5$。

この組が元の条件を満たすことも確認する。$4<5$ だから $\log_2 5>2$、また $4<5$ より $\log_5 4<1$。従って $$\log_2 5>2>\log_5 4+1,$$ となり、$(a,b)=(2,5)$ は条件を満たす。