3筑波大学 2000年 数学 第3問解答・解説

a>0、x>0 なので両辺の対数をとっても不等号の向きは変わらず、 $$\sqrt a\log x\le\sqrt x\log a$$ を得る。t=$\sqrt{x}$>0、b=$\sqrt{a}$>0 とおくと、これは $$\displaystyle 2b\log t\le2t\log b \quad\text{、すなわち}\quad \frac{\log t}{t}\le\frac{\log b}{b}$$ となる。ここで $h(t)=\log t/t$ とおけば $$\displaystyle h'(t)=\frac{1-\log t}{t^2}$$ だから、hは $0<t<e$ で増加し、$t>e$ で減少する。従って一意な最大値は $h(e)=1/e$ である。

元の不等式がすべての $x>0$、すなわちすべての $t>0$ で成り立つには、特に $t=e$ のとき $1/e\le h(b)$ が必要である。一方、hの最大値より $h(b)\le1/e$ なので $h(b)=1/e$、一意性から $b=e$。ゆえに $\sqrt a=e$、すなわち $a=e^2$。この値では $h(b)=1/e$ がhの最大値なので、上の不等式はすべての $t>0$ で実際に成り立つ。