7筑波大学 2000年 数学 第7問解答・解説

(1) 漸化式にまず $k=0$、次に $k=1$ を代入する。 $\displaystyle P_1=cP_0+\frac1n=\frac{c}{n+1}+\frac1n$ であり、$n\ge2$ なら $\displaystyle P_2=cP_1+\frac1{n-1}=\frac{c^2}{n+1}+\frac cn+\frac1{n-1}$。問題の漸化式で許される k は $0,\ldots,n-1$ なので、$n=1$ のとき定まるのは $P_1$ までであり、$P_2$ は定義されない。

(2) $\displaystyle P_0=\frac1{n+1}$ から始め、漸化式を繰り返し使うと $\displaystyle P_k=\sum\limits _{j=0}^k\frac{c^{k-j}}{n+1-j}\quad(0\le k\le n)$。実際、式が k で成り立つとき、$c$ を掛けて $\displaystyle \frac1{n-k}$ を足すと、同じ和に末尾の定数項が加わり $k+1$ の式になる。よって帰納的に成り立つ。$k=n$ を代入すると、分母は $n+1,n,\ldots,1$ となるので $\displaystyle P_n=\frac{c^n}{n+1}+\frac{c^{n-1}}n+\cdots+\frac c2+1=f(c)$。

(3) f は多項式で連続であり、$f(a)f(b)<0$ から $a\le x\le b$ の範囲に少なくとも1つ根がある。関数値は与えられた漸化式で順に計算する。Python 3 の2分法は次の通り。各回で符号が異なる側の区間を残し、幅を半分にする。$f_m=0$ の場合も根を端点に残したまま幅を指定値まで縮める。 ```python def f(x, n): p = 1.0 / (n + 1) for k in range(n): p = x * p + 1.0 / (n - k) return p

def bisection(n, a, b): fa, fb = f(a, n), f(b, n) if not (a < b and fa * fb < 0): raise ValueError("a < b and f(a) * f(b) < 0 are required") while b - a > 1.0e-4: m = (a + b) / 2.0 fm = f(m, n) if fm == 0 or fa * fm < 0: b = m else: a, fa = m, fm return (a + b) / 2.0 ``` 停止時には区間幅が $10^{-4}$ 以下であり、中点から区間内の根までの距離はその半分以下、つまり $5\times10^{-5}$ 以下である。