2筑波大学 2000年 数学 第2問解答・解説

(1) 関数 $F(x)=e^x-1-x$ を考えると、$F(0)=0$ であり、$x\ge0$ では $$F'(x)=e^x-1\ge0$$ である。よって $F$ は $x\ge0$ の範囲で増加するから $$F(x)\ge F(0)=0,$$ すなわち $e^x\ge1+x$。また $x>0$ では $F'(x)>0$ なので、等号は $x=0$ のときに限る。

(2) $x=\tan u$ と置換する。$\tan\theta=M$、$0<\theta<\pi/2$ より積分区間は $u=0$ から $u=\theta$ となり、$dx=\sec^2u\,du$、$1+\tan^2u=\sec^2u$ だから $$\displaystyle \int_0^M\frac{1}{1+x^2}\,dx =\int_0^\theta\frac{\sec^2u}{1+\tan^2u}\,du =\int_0^\theta 1\,du=\theta.$$

(3) (1) に $x^2$ を代入すると、$x>0$ で $$\displaystyle e^{x^2}>1+x^2, \qquad \frac{1}{e^{x^2}}<\frac{1}{1+x^2}.$$ したがって、$M>0$ に対して積分すると $$\displaystyle \int_0^M e^{-x^2}\,dx <\int_0^M\frac{1}{1+x^2}\,dx.$$ ここで $0<\alpha<\pi/2$ かつ $\tan\alpha=M$ を満たす $\alpha$ を取ると、(2) より右辺は $\alpha$ に等しい。よって $$\displaystyle \int_0^M e^{-x^2}\,dx<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$