6筑波大学 2000年 数学 第6問解答・解説

分散の定義より $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{m}(x_i-\overline{x})=0,\quad \sum\limits _{j=1}^{n}(y_j-\overline{y})=0,\quad \sum\limits _{i=1}^{m}(x_i-\overline{x})^2=mS_x^2,\quad \sum\limits _{j=1}^{n}(y_j-\overline{y})^2=nS_y^2.$$ まず、資料を合わせた平均は $$\displaystyle \overline{z}=\frac{\sum\limits _{i=1}^{m}x_i+\sum\limits _{j=1}^{n}y_j}{m+n} =\frac{m\overline{x}+n\overline{y}}{m+n},$$ となる。 $N=m+n$ とおく。各偏差を群内偏差と平均との差に分けて平方展開すると、上の偏差和が0であることから交差項は消え、 $$\displaystyle \begin{aligned} S_z^2 &=\frac{1}{N}\left\{\sum\limits _{i=1}^{m}(x_i-\overline{z})^2+\sum\limits _{j=1}^{n}(y_j-\overline{z})^2\right\}\\ &=\frac{mS_x^2+nS_y^2}{N} +\frac{m(\overline{x}-\overline{z})^2+n(\overline{y}-\overline{z})^2}{N}. \end{aligned}$$ (1)より $$\displaystyle \overline{x}-\overline{z}=\frac{n}{N}(\overline{x}-\overline{y}),\qquad \overline{y}-\overline{z}=-\frac{m}{N}(\overline{x}-\overline{y}).$$ したがって $$\displaystyle \frac{m(\overline{x}-\overline{z})^2+n(\overline{y}-\overline{z})^2}{N} =\frac{mn}{N^2}(\overline{x}-\overline{y})^2,$$ ゆえに $$\displaystyle S_z^2=\frac{mS_x^2+nS_y^2}{m+n} +\frac{mn}{(m+n)^2}(\overline{x}-\overline{y})^2.$$ 以上で(1)(2)が示された。