筑波大学 2000年数学第5問解答・解説

図形と方程式平面上の曲線と複素数平面

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1問題

筑波大学2000年度第5問

次の問いに答えよ。

(1) 点（3，0）を通り，円 $(x + 3)^{2} + y^{2} = 4$ と互いに外接する円の中心 $(X, Y)$ の軌跡を求めよ。

(2) (1) の軌跡上の点と定点（0, a）との距離の最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle X^2-\frac{Y^2}{8}=1,\quad X\ge1\quad\left(X=\sqrt{1+\frac{Y^2}{8}}\right);\qquad$ (2) $\displaystyle \sqrt{1+\frac{a^2}{9}}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1) 求める円の中心を }D=(X,Y)\text{、与えられた円の中心を }C=(-3,0)\text{、通過点を }P=(3,0)\text{ とする。求める円の半径は }DP\text{ だから、外接条件より} DC=DP+2,\qquad \sqrt{(X+3)^2+Y^2}=\sqrt{(X-3)^2+Y^2}+2. \text{一度平方すると }\sqrt{(X-3)^2+Y^2}=3X-1\text{ を得るので }X\ge\frac13\text{。さらに平方して} (X-3)^2+Y^2=(3X-1)^2\quad\text{すなわち}\quad X^2-\frac{Y^2}{8}=1. X^2-\frac{Y^2}{8}=1\text{ では }|X|\ge1\text{ だから、}X\ge\frac13\text{ と合わせて }X\ge1\text{。よって軌跡は右側の枝 }X^2-\frac{Y^2}{8}=1,\ X\ge1\text{ である。} \text{(2) 軌跡上では }X^2=1+\frac{Y^2}{8}\text{。点 }(X,Y)\text{ と }(0,a)\text{ の距離の二乗は} X^2+(Y-a)^2=1+a^2+\frac98Y^2-2aY=\frac98\left(Y-\frac{8a}{9}\right)^2+1+\frac{a^2}{9}. Y=\frac{8a}{9}\text{ は右側の枝上で実現できるから、最小距離は }\sqrt{1+\frac{a^2}{9}}\text{ である。}$

この問題で使う考え方

円の外接条件

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