1岐阜大学 2002年 数学 第1問解答・解説

(1) 両辺は正なので、平方して比較してよい。整理すると $$\begin{aligned} &4(x+1)^2(x+k)-(2x+1)^2(x+k+1)\\ &\qquad=(4k-1)x+(3k-1). \end{aligned}$$ 従って与えられた不等式は、すべての (x>0) で $$(4k-1)x+(3k-1)\geq0$$ となることと同値である。(x$\to$0^+) で負にならないためには (3k-1$\geq$0)、また (x$\to$$\infty$) で負にならないためには (4k-1$\geq$0) が必要である。逆に両方が成り立てば、左辺は (x>0) で非負である。これらと (k>0) を合わせると $$\displaystyle \boxed{k\geq\frac13}.$$

(2) 日本の通常の用法どおり自然数を正の整数 (n=1,2,$\ldots$) とする。 $$\displaystyle P_n=\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots2n}$$ とおく。(n=1) では (P_1=1/2<1/$\sqrt2$) である。ある正整数 (n) で (P_n<1/$\sqrt{n+1}$) と仮定する。このとき $$\displaystyle P_{n+1}=P_n\frac{2n+1}{2n+2} <\frac{1}{\sqrt{n+1}}\frac{2n+1}{2n+2}.$$ ここで両辺正であり、 $$\displaystyle \left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^2<\frac{n+1}{n+2}$$ は $$4(n+1)^3-(2n+1)^2(n+2)=3n+2>0$$ から従う。従って (P_{n+1}<1/$\sqrt{n+2}$) であり、数学的帰納法によりすべての正整数 (n) で成立する。

なお、自然数に0を含め、空積を1と定める流儀なら、(n=0) では左辺が1、右辺も1となるため厳密不等号は成立しない。その流儀では原文の主張は (n$\geq$1) とする必要がある。