6愛媛大学 2003年 数学 第6問解答・解説

6-a

(1) $M$ と $L$ の位置ベクトルはそれぞれ $\displaystyle \frac12\vec b,\frac12\vec a$ なので、 $$\displaystyle \vec p=\vec a-\frac12\vec b,\qquad \vec q=\vec b-\frac12\vec a.$$ したがって $\displaystyle \vec p+\vec q=\frac12(\vec a+\vec b)$、$\displaystyle \vec p-\vec q=\frac32(\vec a-\vec b)$ である。これらから $$\displaystyle \vec a=\frac43\vec p+\frac23\vec q,\qquad \vec b=\frac23\vec p+\frac43\vec q.$$ (2) $E$ は二つの中線 $AM,BL$ の交点だから重心であり、重心の内分比から $\displaystyle \overrightarrow{EA}=\frac23\vec p,\ \overrightarrow{EB}=\frac23\vec q$ である。よって $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec p\cdot\vec q}{|\vec p||\vec q|}.$$ また、$\vec a\perp\vec b$ より $$\displaystyle 0=\vec a\cdot\vec b =\frac19(4\vec p+2\vec q)\cdot(2\vec p+4\vec q) =\frac19\{8|\vec p|^2+20\vec p\cdot\vec q+8|\vec q|^2\}.$$ $|\vec p|=|\vec q|=r\ (r>0)$ を代入すると $16r^2+20\vec p\cdot\vec q=0$ なので $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec p\cdot\vec q}{r^2}=-\frac45.$$ (3) $E$ は重心なので $\displaystyle AE=\frac23MA=\frac23$、$\displaystyle BE=\frac23LB=\frac43$。したがって $$\displaystyle [\triangle EAB]=\frac12\cdot\frac23\cdot\frac43\sin120^\circ =\frac{2\sqrt3}{9}.$$ 重心は $\triangle OAB$ を面積の等しい三つの三角形に分けるから $$\displaystyle [\triangle OAB]=3[\triangle EAB]=\frac{2\sqrt3}{3}.$$ 6-b

(1) $iz=-b+ai$ より $$\displaystyle \frac1{iz}=\frac{-b-ai}{a^2+b^2},\qquad w=-b-\frac{b}{a^2+b^2} +i\left(a-\frac{a}{a^2+b^2}\right).$$ よって $$\displaystyle \operatorname{Im}w=a-\frac{a}{a^2+b^2} =\frac{a(a^2+b^2-1)}{a^2+b^2}.$$ (2) $a\ne0$ なので、$\operatorname{Im}w=0$ は $a^2+b^2=1$ と同値である。したがって求める図形は、複素数平面上の単位円から $a=0$ となる二点 $z=i,-i$ を除いたもの。 $$|z|=1,\qquad z\ne i,-i.$$ (3) (2)より $|z|=1$。偏角が $30^\circ$ だから $iz$ の絶対値は1、偏角は $120^\circ$ である。ド・モアブルの定理により $$\displaystyle (iz)^{17}+\frac1{(iz)^{17}} =e^{i(17\cdot120^\circ)}+e^{-i(17\cdot120^\circ)} =2\cos(2040^\circ) =2\cos240^\circ=-1.$$