1愛媛大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) $u=|x−1|$ とおくとAは $2u\le y\le4−2u$ であり、これが可能なのは $0\le u\le1$。したがってAは頂点 $(0,2),(1,0),(2,2),(1,4)$ のひし形で、上下境界を結んだ領域。

(2) $0\le x\le1$では、Aの下境界は $L=2−2x$、上境界は $U=2+2x$。$4x^2=L$ は $x=1/2$で交わり、$x<1/2$では $L>4x^2$、$x>1/2$では $4x^2>L$。さらに $U\ge4x^2$ は $0\le x\le1$で成立し、$x\ge1$では $x=1$のみで接する。ゆえに共通部分の面積は $$\displaystyle S=\int_0^{1/2}(U−L)\,dx+\int_{1/2}^{1}(U−4x^2)\,dx =\int_0^{1/2}4x\,dx+\int_{1/2}^{1}(2+2x−4x^2)\,dx =\frac12+\frac7{12}=\frac{13}{12}.$$

Aは二つのV字型不等式の間に挟まれたひし形である。共通部分では放物線がAの下境界を $x=1/2$で追い越し、上境界との接点は $x=1$。下側の境界を区分積分して面積を得る。