2愛媛大学 2003年 数学 第2問解答・解説

決勝進出者の確率

左側でA対Bの勝者がCと対戦し、右側でD対Eが対戦する。B,C,D同士は互角である。 $$\displaystyle \begin{aligned} P(L=A)&=\frac13\cdot\frac13=\frac19,\\ P(L=B)&=\frac23\cdot\frac12=\frac13,\\ P(L=C)&=\frac13\cdot\frac23+\frac23\cdot\frac12=\frac59. \end{aligned}$$ また、右側からDが進む確率は$\displaystyle \frac13$、Eが進む確率は$\displaystyle \frac23$である。 (1) $$\displaystyle P(A\text{が決勝進出})=\frac19.$$ (2) CとDが決勝で対戦する確率は $$\displaystyle \frac59\cdot\frac13=\frac5{27}.$$ (3) $$\displaystyle P(D\text{優勝})=\frac13\left(\frac19\cdot\frac23+\left(\frac13+\frac59\right)\cdot\frac12\right)=\frac{14}{81}.$$ (4) 右側からDが進む場合の寄与は $$\displaystyle \frac13\left(\frac19\cdot\frac23+\frac89\right)=\frac{26}{81}.$$ 右側からEが進む場合、左側がAならB,C,Dは優勝できず、左側がBまたはCならそのチームがEに勝つ確率は$\displaystyle \frac13$である。よって寄与は $$\displaystyle \frac23\cdot\frac89\cdot\frac13=\frac{16}{81}.$$ したがって求める確率は $$\displaystyle \frac{26}{81}+\frac{16}{81}=\frac{14}{27}.$$ A対Eの勝率は問われていないが、その組合せではB,C,Dのいずれも優勝しないので、(4)の値には影響しない。

【条件付き解答】以下は各試合の結果を独立とし、記載勝率を各対戦に適用するモデルでの条件付き解答である。医学科への適用は固定公式索引の医／医前期の記録と原本の必答指示から確認した。

図から左側ではA対Bの勝者がCと対戦し、右側ではD対Eが対戦する。B,C,D同士の対戦は互角なので勝率は1/2ずつである。AはB,C,Dに勝つ確率が1/3、EはB,C,Dに勝つ確率が2/3である。

左側の決勝進出者をLとすると、Aが進むにはAがBとCの両方に勝つので P(L=A)=1/9。Bが進む確率は (2/3)(1/2)=1/3。Cが進む確率は、AがBに勝ってCがAに勝つ場合と、BがAに勝ってCがBに勝つ場合の和で (1/3)(2/3)+(2/3)(1/2)=5/9 となる。右側はP(Dが進出)=1/3、P(Eが進出)=2/3。

(1) Aの決勝進出確率は、上記のとおり 1/9。

(2) CとDが対戦するのはCが左側を勝ち抜き、Dが右側を勝ち抜くときである。したがって確率は (5/9)(1/3)=5/27。

(3) Dが優勝するにはまずEに勝つ必要がある。その後、左側の決勝進出者がAならDの勝率は2/3、BまたはCなら1/2である。よって (1/3){(1/9)(2/3)+(1/3+5/9)(1/2)}=14/81。

(4) 右側からDが進む場合、左側がAならDの勝率2/3、BまたはCなら優勝者は必ずB,C,Dのいずれかとなる。寄与は (1/3){(1/9)(2/3)+(8/9)}=26/81。右側からEが進む場合、左側がAなら決勝はA対EでB,C,Dは優勝しない。左側がBまたはCなら、そのチームがEに勝つ確率は1/3なので寄与は (2/3)(8/9)(1/3)=16/81。合計は 26/81+16/81=14/27。A対Eの勝率は与えられていないが、A対Eの決勝ではB,C,Dのいずれも優勝しないため、この小問の計算には不要である。