3九州大学 2013年 数学 第3問解答・解説

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(1) $\displaystyle \frac{1}{18}$; (2) $\displaystyle \frac{19}{9}$; (3) $\displaystyle \frac{5}{108}$.

位置を左から $1$〜$6$ とし、出目 $a$ の $L$ は $1$〜$a$、出目 $b$ の $R$ は $7-b$〜$6$ を反転させる。

(1) 2回のLで偶数回反転する位置の個数は、両方で反転する $\displaystyle \min(a,b)$ 個と、どちらでも反転しない $\displaystyle 6-\max(a,b)$ 個の和、すなわち $6-|a-b|$。表が1枚となるのは $|a-b|=5$ の2通りだから、$2/36=1/18$。

(2) 位置 $i$ の $L$ 反転確率は $(7-i)/6$、$R$ 反転確率は $i/6$。独立性から両方反転または両方反転しない確率を位置ごとに足すと、$(3,7,9,9,7,3)/18$。表枚数の期待値は指示変数の和の期待値として合計し、$38/18=19/9$。

(3) 1回目と3回目の $L$ の出目を $a,c$ とし、$\displaystyle m=\min(a,c), M=\max(a,c)$ とする。この2回だけで奇数回反転する位置は $m<i\le M$。全枚表に戻すには $R$ がこの位置区間だけを反転させる必要があり、$R$ は右端からの区間なので $M=6, b=6-m$ が必要十分。$m=1,\ldots,5$ について $(a,c)$ の順序が2通りずつあり、$10/6^3=5/108$。