4九州大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) $S$ の半径は $1$ である。$D$ は $OB$ 上にあり，内接接触の条件から $OD=1-r$（$r$ は $T$ の半径）である。また $T$ が $y$ 軸に接するので，$D$ の $x$ 座標は $r$ である。$B=(1/2,\sqrt3/2)$ だから，$D=(1-r)B$ の $x$ 座標は $(1-r)/2$。従って $$\displaystyle r=\frac{1-r}{2},\qquad r=\frac13,\qquad D=\left(\frac13,\frac{\sqrt3}{3}\right).$$ 接点は $C=(0,\sqrt3/3)$ である。

(2) 回転軸は $y=c$，ただし $c=\sqrt3/3$ とする。円 $S$ の右側の弧 $AB$ は $$\displaystyle x=x_S(y)=\sqrt{1-y^2},\qquad \frac{\sqrt3}{2}\leq y\leq1$$ と表せる。円 $T$ の中心の高さを $c$，半径を $\rho=1/3$ とし，$u=y-c$ とおくと，その左右の枝は $$\displaystyle x_L(y)=\frac13-\sqrt{\frac19-u^2},\qquad x_R(y)=\frac13+\sqrt{\frac19-u^2}.$$ ここで $y_B=\sqrt3/2$，$u_0=y_B-c=\sqrt3/6$，円 $T$ の最高点の高さは $c+\rho$ である。短い弧 $BC$ は，$c\leq y\leq y_B$ では左枝 $x_L$，$y_B\leq y\leq c+\rho$ では左右両枝からなる。従って水平断面の $x$ 方向の全長は，$c\leq y\leq y_B$ では $x_L$，$y_B\leq y\leq c+\rho$ では $x_L+x_S-x_R$，$c+\rho\leq y\leq1$ では $x_S$ である。

半径 $y-c$，長さがこの水平断面の全長である薄い円筒殻の体積を積分すると， $$V=2\pi(I_S+I_L-I_T),$$ ただし $$\displaystyle \begin{aligned} I_S&=\int_{y_B}^{1}(y-c)\sqrt{1-y^2}\,dy,\\ I_L&=\int_0^{u_0}u\left(\frac13-\sqrt{\frac19-u^2}\right)du,\\ I_T&=2\int_{u_0}^{1/3}u\sqrt{\frac19-u^2}\,du. \end{aligned}$$ 後二つは $$\displaystyle \begin{aligned} I_L&=\frac13\cdot\frac{u_0^2}{2} -\frac{(1/3)^3-(1/9-u_0^2)^{3/2}}{3} =\frac1{72}-\frac7{648}=\frac1{324},\\ I_T&=\frac23(1/9-u_0^2)^{3/2}=\frac1{324} \end{aligned}$$ となるため，$I_L-I_T=0$ である。

残る積分は $$\displaystyle \begin{aligned} I_S &=\int_{\sqrt3/2}^{1}y\sqrt{1-y^2}\,dy -\frac1{\sqrt3}\int_{\sqrt3/2}^{1}\sqrt{1-y^2}\,dy\\ &=\frac1{24}-\frac1{\sqrt3}\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8}\right) =\frac16-\frac{\pi}{12\sqrt3}. \end{aligned}$$ よって求める体積は $$\displaystyle V=2\pi I_S=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi^2}{6\sqrt3}.$$