3長崎大学 2003年 数学 第3問解答・解説

(1) $x>0$ で $\log f(x)=x\log x$ だから $$f'(x)=x^x(\log x+1).$$ $x^x>0$ より、$0<x<1/e$ では減少、$x>1/e$ では増加する。したがって最小値は $\boxed{e^{-1/e}}$ である。 (2) 接点の横座標を $t>0$ とすると、接線が原点を通る条件は $$f(t)-tf'(t)=t^t\{1-t(\log t+1)\}=0.$$ よって $g(t)=t(\log t+1)=1$ を解けばよい。$0<t\le1/e$ では $g(t)\le0$ なので解はない。$t>1/e$ では $g'(t)=\log t+2>0$ なので増加し、異なる $t$ に対して同じ値をとらず、$g(1)=1$ より解は $t=1$ だけである。このとき $f(1)=f'(1)=1$ だから接線は $\boxed{y=x}$ となる。