長崎大学 2003年数学第5問解答・解説

二次関数いろいろな式数学と人間の活動（整数）

このページには広告が含まれます。

1問題

長崎大学2003年度第5問

整式 $f(x)=x^3+ax^2+3bx+3$ において、定数 $a,b$ は整数とする。この整式が整数 $n$ を用いて $f(x)=(x-n)(x^2+px+q)$ と因数分解されるとき、次の問いに答えなさい。

(1) $p,q$ が整数であることを示し、整数 $n$ の値を求めなさい。

(2) 2次方程式 $x^2+px+q=0$ が虚数解をもつように、 $a,b,n,p,q$ の値を定めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) p,q are integers; n=±1. (2) (a,b,n,p,q)=(−2,0,−1,−3,3),(1,1,−1,0,3),(4,2,−1,3,3).$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

係数比較から $a=p-n$ 、 $3b=q-np$ 、 $3=-nq$ である。したがって $p,q$ は整数で、 $n=\pm1,\pm3$ のいずれかとなる。 $3b$ が $3$ の倍数であることから $n=\pm3$ は除かれ、 $n=\pm1$ である。虚数解をもつ条件は $p^2-4q<0$ 。 $n=1$ のときは $q=-3$ なので不可能である。 $n=-1$ のときは $q=3$ 、 $p$ は3の倍数であり、 $p^2<12$ より $p=-3,0,3$ 。よって $(a,b,n,p,q)=(-2,0,-1,-3,3),\ (1,1,-1,0,3),\ (4,2,-1,3,3)$ を得る。

この問題で使う考え方

係数比較
整除性
判別式

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。