1長崎大学 2003年 数学 第1問解答・解説

原文の条件について。問題文には $f$ の連続性などが明記されていない。積分は一点での関数値を変えても変化しない。例えば $a=2,b=1$ とし $g(x)=3x^2-2x-1$ とおいて、$f(x)=g(x)$（$x\ne0$），$f(0)=0$ と定めても積分式は同じで、$f(-1)=4$ のままだが、$f(x)=0$ には $x=0$ も加わる。従って原文だけでは点ごとの $f$ や零点は一意に定まらない。

以下は $f$ が連続であると追加仮定した場合の解である。このとき微積分の基本定理を使える。$\displaystyle F(x)=\int_2^x f(t)\,dt$ とおくと、$F(2)=0$ より $$(2-a)(6+b)=0.$$ また $f(x)=F'(x)$ だから $$f(x)=3x^2+(2-2a)x+b-a.$$

(1) $f(-1)=4$ より $1+a+b=4$、すなわち $a+b=3$。これと $(2-a)(6+b)=0$ を合わせると、$(a,b)=(2,1)$ または $(9,-6)$ である。前者では $$f(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$$ なので $\displaystyle x=-\frac13,1$。後者では $$f(x)=3x^2-16x-15$$ となり、解の公式から $$\displaystyle x=\frac{8-\sqrt{109}}{3},\qquad x=\frac{8+\sqrt{109}}{3}.$$

(2) この小問では条件は $a<0$ であり、(1) の $f(-1)=4$ は仮定しない。$a<0$ なら $a\ne2$ だから、$(2-a)(6+b)=0$ より $b=-6$。従って $$f(x)=3x^2+(2-2a)x-6-a=3x^2+2x-6-a(2x+1).$$ $\displaystyle x=-\frac12$ とすれば $2x+1=0$ なので $$\displaystyle f\!\left(-\frac12\right)=\frac34-1-6=-\frac{25}{4},$$ すべての $a<0$ に対してグラフは $\displaystyle \left(-\frac12,-\frac{25}{4}\right)$ を通る。以上の各結論は、追加した連続性の仮定の下でのものである。