1福井大学 2008年 数学 第1問解答・解説

$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{\vec a+\vec b}{3},\quad\overrightarrow{OE}=\frac{\vec b+\vec c}{3}$。$AM:ME=CN:ND=1:t$ より $\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{3t\vec a+\vec b+\vec c}{3(t+1)},\quad\overrightarrow{ON}=\frac{\vec a+\vec b+3t\vec c}{3(t+1)}$。$\vec a,\vec b,\vec c$を基底とする座標で$\displaystyle A=(1,0,0),\quad C=(0,0,1),\quad M=\frac{(3t,1,1)}{3(t+1)},\quad N=\frac{(1,1,3t)}{3(t+1)}$。これら4点は平面 $x+2y+z=1$ 上にある。 平面ABCの条件は座標の和が1。直線OM上で和が1となる点は $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{3t\vec a+\vec b+\vec c}{3t+2}$、同様に $\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{\vec a+\vec b+3t\vec c}{3t+2}$。 分母は正なので、分子ベクトル $\vec p=3t\vec a+\vec b+\vec c,\quad\vec q=\vec a+\vec b+3t\vec c$ で直角条件を調べる。与えられた内積を代入すると $\displaystyle \vec p\cdot\vec q=-\frac{9t(t-1)}2$、$\displaystyle \vec p\cdot(\vec q-\vec p)=-\frac{(3t-1)(27t-14)}6$、$\displaystyle \vec q\cdot(\vec p-\vec q)=-\frac{(3t-1)(27t-4)}6$。直角がOなら $t=1$ (もう一根 $0$は $t>0$ に反する)。Pなら $\displaystyle t=\frac{14}{27}$ または$\displaystyle \frac13$、Qなら $\displaystyle t=\frac4{27}$ または$\displaystyle \frac13$。$\displaystyle t=\frac13$では$p=q$となり$P=Q$なので三角形にならない。よって $\displaystyle t=\frac4{27},\frac{14}{27},1$。