2福井大学 2008年 数学 第2問解答・解説

$c=\cos\theta$, $s=\sin\theta$ とおく。$0<\theta<\pi$ より $s>0$ である。半径1の円の点 $P(c,s)$ における接線 $l$ は $$cx+sy=1$$ である。したがって $x=2$ との交点は $$\displaystyle Q=\left(2,\frac{1-2c}{s}\right).$$ 接線の方向ベクトルは $(-s,c)$ なので、$R=P+u(-s,c)$ とおく。$overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OP}=1$ かつ $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}\cdot(-s,c) =-2s+\frac{c(1-2c)}{s} =\frac{c-2}{s}.$$ $OR\perp OQ$ より $$\displaystyle 0=\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OR}=1+u\frac{c-2}{s}, \qquad u=\frac{s}{2-c}.$$ よって $$\displaystyle R=\left(c-\frac{s^2}{2-c},\ s+\frac{sc}{2-c}\right) =\boxed{\left(\frac{2\cos\theta-1}{2-\cos\theta},\frac{2\sin\theta}{2-\cos\theta}\right)}.$$

(2) $(-s,c)$ は長さ1のベクトルであり、$u>0$ だから $$\displaystyle PR=u=\frac{s}{2-c}.$$ ここで $2-c>0$ であり、$s^2=1-c^2$ を用いると $$(2-c)^2-3s^2=(2-c)^2-3(1-c^2)=(2c-1)^2\ge0.$$ したがって $PR^2\le1/3$ であり、等号は $c=1/2$、すなわち $\theta=\pi/3$ のときに限る。ゆえに最大値は $$\displaystyle \boxed{\frac1{\sqrt3}}\quad\left(\theta=\frac\pi3\right).$$

(3) (1)の座標を $(x,y)$ とする。$x+2=3/(2-c)>0$ だから $$\displaystyle 2x+1=\frac{3c}{2-c},\qquad y=\frac{2s}{2-c},$$ よって $$\displaystyle c=\frac{2x+1}{x+2},\qquad s=\frac{3y}{2(x+2)}.$$ $c^2+s^2=1$ を代入して整理すると $$\displaystyle (2x+1)^2+\frac94y^2=(x+2)^2, \qquad 4x^2+3y^2=4.$$ また $s>0$ より $y>0$ である。逆に、$4x^2+3y^2=4$ かつ $y>0$ なら $-1<x<1$ であり、$c=(2x+1)/(x+2)$ は $-1<c<1$ を満たす。さらに $s=3y/[2(x+2)]>0$ かつ $c^2+s^2=1$ なので、ある $0<\theta<\pi$ が対応する。したがって軌跡は $$\boxed{4x^2+3y^2=4,\quad y>0}$$ で表される楕円の上半分（両端 $(\pm1,0)$ を除く）である。