2山形大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) 加法定理により、原点のまわりに $60^\circ$ 回転する座標式は $$\displaystyle (x,y)\longmapsto\left(\frac{x}{2}-\frac{\sqrt3 y}{2},\frac{\sqrt3 x}{2}+\frac y2\right).$$ $Q=(r+1,\sqrt3r)$ を代入して $$\displaystyle Q'=\left(\frac{r+1-3r}{2},\frac{\sqrt3(r+1)+\sqrt3r}{2}\right)=\left(\frac{1-2r}{2},\frac{\sqrt3(2r+1)}{2}\right).$$ (2) $\displaystyle Q'-P=\left(r+\frac32,\sqrt3(\frac12-r)\right)$ より $$\displaystyle |PQ'|^2=\left(r+\frac32\right)^2+3\left(\frac12-r\right)^2=4r^2+3, \quad |PQ'|=\sqrt{4r^2+3}.$$ (3) $C$ と $D'$ の半径は $2r,r$、中心間距離は $d=\sqrt{4r^2+3}$。異なる2点で交わる条件は $$|2r-r|<d<2r+r,\quad r<\sqrt{4r^2+3}<3r.$$ 左の不等式はすべての $r>0$ で成り立つ。右の不等式は $4r^2+3<9r^2$、すなわち $$\displaystyle r>\sqrt{\frac35}$$ と同値である。 (4) 正三角形 $OP_1Q_1$ では、原点まわりの回転により $Q_1=R_{\pm60^\circ}(P_1)$ となる。従って一方の向きでは $P_1$は円$C$と円$D'$の交点、もう一方では円$C$と円$D''$の交点である。ここで $D''$ は $D$ を $-60^\circ$ 回転した円である。 $D''$ の中心は $$\displaystyle Q''=\left(2r+\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right),$$ したがって $$\displaystyle |PQ''|^2=\left(4r+\frac32\right)^2+3\left(2r+\frac12\right)^2=28r^2+18r+3>(3r)^2.$$ よって $C$ と $D''$ は交わらない。$C$ と $D'$ は $d>r$ を常に満たし、$d=3r$ のとき外接して接点がただ1つ、$r<d<3r$ のとき2点で交わる。従って正三角形を定める組がただ一組となるのは $$\displaystyle r=\sqrt{\frac35}$$ の場合に限る。このとき外接点は線分 $PQ'$ 上で $P$ から $2r$ の距離にあるので $$\displaystyle P_1=P+\frac{2r}{3r}(Q'-P)=\frac{P+2Q'}{3}=\left(-\frac{4r}{3},\frac{\sqrt3(4r+1)}{3}\right).$$ $r=\sqrt{3/5}$ を代入すると $$\displaystyle P_1=\left(-\frac4{\sqrt{15}},\frac1{\sqrt3}+\frac4{\sqrt5}\right).$$

点を60度回転する座標式から中心間距離を求める。正三角形の二つの向きを別々の円の交点に対応させ、外接時だけ一組となることを示す。