1山形大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) $\cos x=\allowbreak{}\cos2x=\allowbreak{}2\cos^2x-1$ とおき、$u=\allowbreak{}\cos x$ とすると $2u^2-u-1=\allowbreak{}0$、すなわち $(u-1)(2u+1)=\allowbreak{}0$。区間 $0\leq x\leq2\pi$ で、$\cos x=\allowbreak{}1$ は $x=\allowbreak{}0,\allowbreak{}2\pi$、$\displaystyle \cos x=\allowbreak{}-\frac12$ は $\displaystyle x=\allowbreak{}\frac{2\pi}{3},\allowbreak{}\frac{4\pi}{3}$。したがって交点は $$\displaystyle (0,1),\quad\left(\frac{2\pi}{3},-\frac12\right),\quad\left(\frac{4\pi}{3},-\frac12\right),\quad(2\pi,1).$$ (2) 長方形は $0\leq x\leq2\pi$、$-1\leq y\leq1$ の範囲である。図を描くための主な点は、$C_1$ について $\displaystyle (0,\allowbreak{}1),\allowbreak{}(\frac\pi2,\allowbreak{}0),\allowbreak{}(\pi,\allowbreak{}-1),\allowbreak{}(\frac{3\pi}2,\allowbreak{}0),\allowbreak{}(2\pi,\allowbreak{}1)$、$C_2$ について $\displaystyle (0,\allowbreak{}1),\allowbreak{}(\frac\pi4,\allowbreak{}0),\allowbreak{}(\frac\pi2,\allowbreak{}-1),\allowbreak{}(\frac{3\pi}4,\allowbreak{}0),\allowbreak{}(\pi,\allowbreak{}1),\allowbreak{}(\frac{5\pi}4,\allowbreak{}0),\allowbreak{}(\frac{3\pi}2,\allowbreak{}-1),\allowbreak{}(\frac{7\pi}4,\allowbreak{}0),\allowbreak{}(2\pi,\allowbreak{}1)$ である。各余弦曲線をこれらの点を通るように描き、(1)の交点で交差させる。 (3) $$\cos x-\cos2x=(1-\cos x)(2\cos x+1)$$ より、差は $\displaystyle 0\le x\le\frac{2\pi}{3}$ と $\displaystyle \frac{4\pi}{3}\le x\le2\pi$ の範囲で非負、$\displaystyle \frac{2\pi}{3}\le x\le\frac{4\pi}{3}$ の範囲で非正である。よって $$\displaystyle S=2\int_0^{2\pi/3}(\cos x-\cos2x)\,dx+\int_{2\pi/3}^{4\pi/3}(\cos2x-\cos x)\,dx=2\cdot\frac{3\sqrt3}{4}+\frac{3\sqrt3}{2}=3\sqrt3.$$ 長方形の縦と横はそれぞれ $2,\allowbreak{}2\pi$ なので $T=\allowbreak{}4\pi$。 (4) $\sqrt3<2$、$\pi>3$ より $\displaystyle S=\allowbreak{}3\sqrt3<6<2\pi=\allowbreak{}\frac T2$。

長方形の実線の枠がR。2本の余弦曲線の交点4点を黒点で示し、曲線間の面積Sに対応する部分を着色した。