4九州大学 2006年 数学 第4問解答・解説

(1) 絶対値が0となる条件から $$f(x)=0\text{すなわち} |\sin x-1/2|=1/2\text{すなわち} \sin x=0\text{ または }1.$$ したがって $\boxed{x=-\pi,0,\pi/2,\pi}$。 (2) $s=\sin x$ とおくと、$s<1/2$ では $f(x)=|s|$、$s\ge1/2$ では $f(x)=1-s$ である。よって $$f(x)=\begin{cases}-\sin x&(-\pi\le x\le0),\\ \sin x&(0\le x\le\pi/6\text{ または }5\pi/6\le x\le\pi),\\ 1-\sin x&(\pi/6\le x\le5\pi/6). \end{cases}$$ 各曲線をつなぐと次の概形になる。$x=0,\pi/6,5\pi/6$ では角があり、折れ線そのものではない。

(3) $0\le x\le\pi/2$ なら $-\pi/2\le x-\pi/2\le0$ であるから $$f(x-\pi/2)=-\sin(x-\pi/2)=\cos x.$$ 従って $\displaystyle F(a)=\int_0^a f(x)\cos x\,dx$。$0\le a\le\pi/6$ では $$\displaystyle F(a)=\int_0^a\sin x\cos x\,dx=\frac12\sin^2a.$$ $\pi/6\le a\le\pi/2$ では区間を分けて $$\displaystyle \begin{aligned}F(a)&=\frac18+\int_{\pi/6}^a(1-\sin x)\cos x\,dx\\ &=\frac18+\left[\sin x-\frac12\sin^2x\right]_{\pi/6}^a =\sin a-\frac12\sin^2a-\frac14. \end{aligned}$$ 境界 $a=\pi/6$ ではどちらも $1/8$ となる。