7千葉大学 2006年 数学 第7問解答・解説

$$\displaystyle \text{原点で }x\text{ 軸に接するので }f(0)=a+b+c=0\text{、すなわち }c=-a-b\text{ である。} \text{また }f'(x)=-\sin x(2a\cos x+b)\text{ である。} \text{(1) 接点では }f(x)=f'(x)=0\text{ となる。}\sin x=0\text{ なら }x=k\pi\text{ であり、} \cos x=1\text{ のとき }f=0\text{、一方 }\cos x=-1\text{ のとき }f=-2b\ne0\text{ である。} \text{次に }\sin x\ne0\text{ と仮定すると }f'=0\text{ から }b=-2a\cos x\text{ となる。これを }f=0\text{ に代入すると} \begin{aligned} 0&=a\cos^2x+b\cos x-a-b &=-a(\cos x-1)^2, \end{aligned} \text{ゆえに }\cos x=1\text{ となり、}\sin x\ne0\text{ に矛盾する。したがって接点の }x\text{ 座標は }x=2k\pi\ (k\text{ は整数})\text{ のみである。} \text{(2) }\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\text{ を使うと、} \begin{aligned} 0=\int_0^{2\pi}f(x)\,dx&=a\pi+2\pi c, \end{aligned} \text{したがって }c=-\frac a2\text{ である。これと }c=-a-b\text{ を合わせると }b=-\frac a2\text{ となる。} \text{よって } \begin{aligned} f(x)&=a\cos^2x-\frac a2\cos x-\frac a2 &=a(\cos x-1)\left(\cos x+\frac12\right). \end{aligned} \text{ここで }a\ne0\text{ だから、}f(x)=0\text{ は }\cos x=1\text{ または }\cos x=-\frac12\text{ と同値である。} \text{範囲 }0\le x\le2\pi\text{ で、前者は }x=0,2\pi\text{、後者は }x=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\text{ である。}$$