8千葉大学 2006年 数学 第8問解答・解説

平方完成すると、与式は $$(x-t)^2+(y-t)^2=2t^2-at+4$$ となる。したがって中心は $(t,t)$、半径の2乗は $R^2=2t^2-at+4$ である。また $$N=x^2+y^2-4,\qquad D_a=2x+2y-a$$ とおけば、点 $(x,y)$ が $C$ 上にある条件は $N=tD_a$ である。

(1) $C$ がすべての実数 $t$ に対して円となるには、半径の2乗が常に正でなければならない。平方完成して $$\displaystyle R^2=2\left(t-\frac a4\right)^2+4-\frac{a^2}{8}.$$ よって最小値 $4-a^2/8$ が正であることが必要十分であり、 $$-4\sqrt2<a<4\sqrt2.$$ 等号の場合は半径0の点となるため含めない。

(2) $a=4$ では $$R^2=2(t-1)^2+2>0$$ なので、$t>0$ の全てで $C$ は円である。$D_4\ne0$ なら点 $(x,y)$ がある円上にあるための媒介変数はただ一つで $t=N/D_4$ だから、これが正である条件は $$(x^2+y^2-4)(x+y-2)>0.$$ $D_4=0$ の場合は $N=0$ も必要であり、$x+y=2,\ x^2+y^2=4$ を解くと $(2,0),(0,2)$ を得る。この2点は全ての $t>0$ で円上にある。従って求める領域は、 $$x^2+y^2<4,\quad x+y<2$$ をともに満たす部分と、 $$x^2+y^2>4,\quad x+y>2$$ をともに満たす部分に、2点 $(2,0),(0,2)$ を加えたものである。 図示する際は円 $x^2+y^2=4$ と直線 $x+y=2$ を境界として、円の内側で直線の下側、および円の外側で直線の上側を塗り、交点だけ加える。境界のその他の点は含まない。

(3) $a=6$ では $$R^2=2(t-1)(t-2).$$ 従って $t>0$ かつ $C$ が円である範囲は $0<t<1$ または $t>2$ である。$D_6=2(x+y-3)$ とする。まず $0<t=N/D_6<1$ となる点を求める。$t>0$ のため $N,D_6$ は同符号である。もし $D_6>0$ なら $t<1$ は $N<D_6$ を意味するが、 $$N-D_6=(x-1)^2+(y-1)^2\ge0$$ なので不可能。ただし等号の点 $(1,1)$ は $D_6<0$ である。従って $D_6<0$、$N<0$ であり、これは $x^2+y^2<4$ に等しい。この円盤内では $x+y<2\sqrt2<3$ より確かに $D_6<0$ で、$t<1$ は $N>D_6$、すなわち $(x-1)^2+(y-1)^2>0$ と同値である。よってこの範囲が与える領域は、$x^2+y^2<4$ を満たす点のうち、点 $(1,1)$ を除いた部分である。

次に $t=N/D_6>2$ とする。$D_6>0$ のときは $$N-2D_6=(x-2)^2+(y-2)^2>0$$ であり、条件は $x+y>3$ かつ $(x,y)\ne(2,2)$ となる。$D_6<0$ では $t>2$ に必要な $N-2D_6<0$ が平方和の非負性に反する。$D_6=0$、すなわち $x+y=3$ では $x^2+y^2\ge9/2>4$ となり $N\ne0$ のため解はない。従って $t>2$ が与える領域は、$x+y>3$ を満たす点のうち、点 $(2,2)$ を除いた部分である。 最終的な領域はこの2領域の和集合である。図では半径2の円の内部（境界を含まない）から $(1,1)$ を除いた部分と、直線 $x+y=3$ の上側の開半平面から $(2,2)$ を除いた部分を塗る。円周、直線、2つの除外点はいずれも領域に含まれない。