6千葉大学 2006年 数学 第6問解答・解説

$\vec p_n=\overrightarrow{OP_n}$ とおけば $$\vec p_n=(1-t_n)\vec a+t_n\vec b,\qquad |\vec b-\vec a|^2=3+2-2=3.$$ (1) $\overrightarrow{OQ_1}=u\vec b$ とおく。$P_1Q_1\perp OB$ より $$(\vec p_1-u\vec b)\cdot\vec b=0, \quad (1-t_1)+3t_1-3u=0.$$ よって $u=(1+2t_1)/3$ なので $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{BQ_1}=\frac{2(t_1-1)}3\vec b}.$$

(2) $\overrightarrow{OR_1}=v\vec a$ とおく。 $Q_1R_1\perp OA$ より $$\displaystyle (u\vec b-v\vec a)\cdot\vec a=0,\qquad v=\frac u2=\frac{1+2t_1}{6}.$$ $R_1P_2\perp AB$ だから $$\{(v-1)\vec a-t_2(\vec b-\vec a)\}\cdot(\vec b-\vec a)=0.$$ $\vec a\cdot(\vec b-\vec a)=1-2=-1$ を用いて $$\displaystyle 1-v-3t_2=0,\qquad \boxed{t_2=\frac{5-2t_1}{18}}.$$ $0<t_1<1$ のとき $1/3<u<1$, $1/6<v<1/2$, $1/6<t_2<5/18$。 したがって垂線の足は実際に指定された辺上にある。

(3) 同じ計算が各段階で成り立つので $$\displaystyle t_{n+1}=\frac{5-2t_n}{18},\qquad t_{n+1}-\frac14=-\frac19\left(t_n-\frac14\right).$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{t_n=\frac14+\left(-\frac19\right)^{n-1}\left(t_1-\frac14\right)}.$$

(4) $\vec b-\vec a\ne\vec0$ より、$P_1=P_2$ と $t_1=t_2$ は同値。 $t_1=(5-2t_1)/18$ を解き、$\boxed{t_1=1/4}$。

(5) このとき $$\displaystyle \overrightarrow{OP_1}=\frac34\vec a+\frac14\vec b,\quad \overrightarrow{OQ_1}=\frac12\vec b,\quad \overrightarrow{OR_1}=\frac14\vec a.$$ $OA$ を横軸にとり、$B$ が上側になるように座標を選ぶと $$\displaystyle \vec a=(\sqrt2,0),\qquad \vec b=\left(\frac1{\sqrt2},\frac{\sqrt{10}}2\right).$$ これは $\vec a\cdot\vec b=1$, $|\vec b|^2=3$ から定まる。 したがって $$\displaystyle P_1=\left(\frac{7\sqrt2}{8},\frac{\sqrt{10}}8\right),\quad Q_1=\left(\frac{\sqrt2}4,\frac{\sqrt{10}}4\right),\quad R_1=\left(\frac{\sqrt2}4,0\right).$$ 底辺 $Q_1R_1$ の長さは $\sqrt{10}/4$、その直線までの $P_1$ の距離は $7\sqrt2/8-\sqrt2/4=5\sqrt2/8$。求める面積は $$\displaystyle \boxed{\frac12\cdot\frac{\sqrt{10}}4\cdot\frac{5\sqrt2}8 =\frac{5\sqrt5}{32}}.$$