4筑波大学 2008年 数学 第4問解答・解説

(1) まず $n=1$ では $$a_1^2-5b_1^2=3^2-5\cdot1^2=4.$$ 漸化式を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1}^2-5b_{n+1}^2 &=\frac{(3a_n+5b_n)^2-5(a_n+3b_n)^2}{4}\\ &=\frac{9a_n^2+30a_nb_n+25b_n^2-5a_n^2-30a_nb_n-45b_n^2}{4}\\ &=a_n^2-5b_n^2. \end{aligned}$$ したがってこの値は $n$ によらず初項の値 $4$ のままである。よって全ての自然数 $n$ について $$a_n^2-5b_n^2=4.$$

(2) $n=1$ では $a_1=3,b_1=1$ は自然数で、$a_1+b_1=4$ は偶数である。ある $n$ で $a_n,b_n$ が自然数かつ $a_n+b_n$ が偶数と仮定する。このとき $$3a_n+5b_n\equiv a_n+b_n\equiv0\pmod 2, \qquad a_n+3b_n\equiv a_n+b_n\equiv0\pmod 2,$$ なので漸化式から $a_{n+1},b_{n+1}$ は整数となる。分子は正だから、両者は自然数である。また $$\displaystyle a_{n+1}+b_{n+1} =\frac{(3a_n+5b_n)+(a_n+3b_n)}2 =2a_n+4b_n$$ は偶数である。以上より数学的帰納法で、全ての自然数 $n$ について $a_n,b_n$ は自然数かつ $a_n+b_n$ は偶数と分かる。