筑波大学 2008年数学第5問解答・解説

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1問題

筑波大学2008年度第5問

行列 $A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&1\end{pmatrix}$ について，次の問いに答えよ。

(1) $P = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ a & 1 \end{pmatrix}$ , $D = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix}$ とする。AP = PD が成り立つとき, a, x, y を求めよ。ただし a > 0 とする。

(2) $(A + tE)^{n} = 4E$ が成り立つような実数 t と自然数 n の組をすべて求めよ。

ただし $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) a=1, x=−1, y=3$ 。 $(2) (t,n)=(−1,2)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 行列を実際に掛けると $AP=\begin{pmatrix}1-2a&-a-2\\a-2&1+2a\end{pmatrix},\qquad PD=\begin{pmatrix}x&-ay\\ax&y\end{pmatrix}.$ 成分を比較して $x=1-2a$ 、 $ay=a+2$ 、 $ax=a-2$ 、 $y=1+2a$ 。最初と最後を使って $ay=a(1+2a)=a+2$ 、従って $a^2=1$ 。 $a>0$ から $a=1$ 、よって $x=-1,y=3$ 。

(2) $u=(1,1)^T,v=(1,-1)^T$ とおくと、直接計算で $Au=-u, Av=3v$ 。従って $A+tE$ を繰り返し掛けると $(A+tE)^n u=(t-1)^n u,\qquad (A+tE)^n v=(t+3)^n v.$ $(A+tE)^n=4E$ ならば $(t-1)^n=4=(t+3)^n.$ $n$ が奇数なら実数の $n$ 乗は単調増加なので $t-1=t+3$ となり矛盾。 $n$ が偶数なら両辺が等しいことから $|t-1|=|t+3|$ 、ゆえに $t=-1$ 。このとき $2^n=4$ なので $n=2$ 。実際、 $A-E=\begin{pmatrix}0&-2\\-2&0\end{pmatrix}$ の二乗は $4E$ である。したがって唯一の組は $(t,n)=(-1,2)$ 。

この問題で使う考え方

行列の積と成分比較
具体ベクトルへの作用
自然数乗の条件整理

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