1筑波大学 2008年 数学 第1問解答・解説

$a=\log_{10}p,\ b=\log_{10}q,\ t=\log_{10}x$ とおく。$p,q>0$ なので $a,b$ は実数であり、また $x>1$ は $t>0$ と同値である。方程式は $$g(t)=t^2+(a+b)t+ab+1=0$$ となる。

$a+b<0$ なら頂点 $t_0=-(a+b)/2$ は正である。上に開く放物線が正の範囲で0になる条件は $g(t_0)\le0$。計算すると $$\displaystyle g(t_0)=ab+1-\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{4-(a-b)^2}{4},$$ よって条件は $|a-b|\ge2$。等号の場合も $t_0>0$ の重解を持つ。

$a+b\ge0$ なら $t>0$ で $g'(t)=2t+a+b>0$。したがって正の解がある条件は $g(0)<0$、すなわち $ab<-1$。求める範囲は $$\bigl(a+b<0\ \text{かつ}\ |a-b|\ge2\bigr)\quad\text{または}\quad ab<-1.$$ 図ではこの二つの領域を塗り、その和集合を示す。

対数変数で二次方程式に直し、頂点が正にある場合と単調増加の場合に分けて、正の解の存在条件を整理する。