2筑波大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) 線分上で高さを $t$ とすると、交点は $Q+t(P-Q)$ である。よって $$\alpha=t+(1-t)\cos\theta,\qquad \beta=(1-t)(2+\sin\theta).$$ したがって $$\alpha^2+\beta^2=t^2+2t(1-t)\cos\theta+(1-t)^2\{\cos^2\theta+(2+\sin\theta)^2\}=t^2+2t(1-t)\cos\theta+(1-t)^2(5+4\sin\theta).$$ (2) 高さ $t$ の回転断面は半径 $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$ の円盤なので、 $$\displaystyle V=\pi\int_0^1(\alpha^2+\beta^2)\,dt=\frac{\pi}{3}(6+\cos\theta+4\sin\theta).$$ (3) $\cos\theta+4\sin\theta=\sqrt{17}\cos(\theta-\phi)$ となる角 $\phi$ があるから、この和の最大・最小は $\sqrt{17},-\sqrt{17}$。よって $$\displaystyle V_{\max}=\frac{\pi}{3}(6+\sqrt{17}),\qquad V_{\min}=\frac{\pi}{3}(6-\sqrt{17}).$$

原文どおり線分の z=t 断面の半径二乗を求めてから円盤断面積を積分。三角関数の合成で最大・最小を確認し、旧2答案と一致。