3愛媛大学 2002年 数学 第3問解答・解説

初項$p>0$。$a_n>0$なら$(a_n^2+2)/(2a_n+1)>0$なので、帰納法から全て$a_n>0$である。 (1) 分母はいずれも正であり、代入・因数分解すると $$\displaystyle \begin{aligned}b_{n+1}&=\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+2} =\frac{a_n^2+2-(2a_n+1)}{a_n^2+2+2(2a_n+1)}\\&=\frac{(a_n-1)^2}{(a_n+2)^2}=\boxed{b_n^2}.\end{aligned}$$ (2) 初項から繰り返す（または数学的帰納法）と $$\boxed{b_n=b_1^{\,2^{n-1}}}\qquad(n\ge1).$$ (3) $b_1=(p-1)/(p+2)$について、$p>0$から$-1/2<b_1<1$である。よって$|b_1|<1$、従って$|b_n|=|b_1|^{2^{n-1}}\to0$。元の置換を逆に解くと $$\displaystyle a_n=\frac{1+2b_n}{1-b_n}.$$ $b_n\to0$を代入して$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}a_n=1}$を得る。