1東京医科歯科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) まず全ての項が2以上と仮定すると、方程式を積で割って $\displaystyle 1=\sum\limits _{i=1}^3 1/(a_ja_k)\le3/4<1$ となり矛盾。よって順序条件から $a_1=1$。代入して $$1+a_2+a_3=a_2a_3\quad\text{すなわち}\quad(a_2-1)(a_3-1)=2.$$ $a_2\le a_3$ より $(a_2,a_3)=(2,3)$。従って解は $(1,2,3)$ のみ。 (2) もし全て $a_i\ge2$ なら、積で割ると $$\displaystyle 1=\sum\limits _{i=1}^n\frac1{\prod\limits _{j\ne i}a_j}\le\frac{n}{2^{n-1}}<1\quad(n\ge3),$$ 矛盾。最後の不等式は $2^{n-1}>n$（n=3で成立し、nを1増やすと保たれる）による。よって少なくとも一つは1。 (3) 二つの1を取り除き、残りを $b_1,\ldots,b_m\ge2$ とすると $m=n-2$ で $$\displaystyle 2+\sum b_i=\prod b_i.$$ $m=1$ は不可能。$m=2$ では $(b_1-1)(b_2-1)=3$ より順不同で $(2,4)$、従ってn=4が可能。$m\ge3$ では $\displaystyle D=\prod b_i-\sum b_i-2$ は各変数を増やしても増加する。従って最小は全て2のときで、その値は $2^m-2m-2$。m=3では最小値0で等号は全て2の場合に限るからn=5が可能。m=4では最小値6、以後も増加するのでそれ以上は不可。よって $n=4,5$。

積で割って各項を上から押さえることで1の存在を証明した。n=3は一つの1を代入して因数分解。ちょうど2つの1の場合、残りの個数mに分け、m=1,2を直接処理し、m≧3では積と和の差の最小値を全て2で評価した。