慶應義塾大学／2026年度／前期

慶應義塾大学 2026年数学第II問解答・解説

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1問題

慶應義塾大学2026年度第II問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。ただし，空欄 $\boxed{\text{え}}$ ， $\boxed{\text{く}}$ ， $\boxed{\text{け}}$ には $n$ の式を入れ，それ以外の空欄には数を入れなさい。袋が1つ，赤玉4個と白玉2個が用意されている。2個以上の玉が袋に入った状態に対して，操作Tの手順を次のように定める。　操作T　袋から玉を2個同時に取り出し，それらが2個とも赤玉である場合には袋に戻さず，それ以外の場合には2個とも袋に戻す。　 $n$ を自然数とする。赤玉4個と白玉2個が袋に入った状態から始めて，操作Tを $n$ 回施し終えたときに，袋に入っている赤玉の個数を $a_n$ とする。 $a_n=4$ である確率を $p_n$ とし， $a_n=2$ である確率を $q_n$ とする。

(1) 次の関係式 $p_{n+1}=\boxed{\text{あ}}p_n,\qquad q_{n+1}=\boxed{\text{い}}p_n+\boxed{\text{う}}q_n$ が成り立つ。よって， $n$ を用いて $p_n=\boxed{\text{え}},\qquad q_n=\boxed{\text{お}}\left\{\left(\boxed{\text{か}}\right)^n-\left(\boxed{\text{き}}\right)^n\right\}$ と表される。ただし， $\boxed{\text{か}}>\boxed{\text{き}}$ とする。したがって，赤玉4個と白玉2個が袋に入った状態から始めて，操作Tを $n$ 回施し終えたときに初めて袋の中の赤玉が0個になる確率は $\boxed{\text{く}}$ である。

(2) $X_n$ を $a_n=4\text{のとき }6,\qquad a_n=2\text{のとき }3.5,\qquad a_n=0\text{のとき }0$ という値をとる確率変数とすると， $X_n$ の期待値は $\boxed{\text{け}}$ であり，分散は $3\left\{\boxed{\text{こ}}\left(\boxed{\text{さ}}\right)^n+\boxed{\text{し}}\left(\boxed{\text{す}}\right)^n+\boxed{\text{せ}}\left(\boxed{\text{そ}}\right)^n\right\}$ である。ただし， $\boxed{\text{さ}}>\boxed{\text{す}}>\boxed{\text{そ}}$ とする。

(3) $N$ を自然数とする。赤玉4個と白玉2個が袋に入った状態から始めて操作Tを $N$ 回施す。操作Tを $n$ 回（ただし， $1\leq n\leq N$ ）施し終えたときに初めて袋の中の赤玉が0個になった場合に， $2^{N-n}$ 点を得るというゲームを考える。ただし，操作Tを $N$ 回施し終えたときに，袋の中に赤玉が1個以上入っている場合の得点は0点とする。このゲームの得点の期待値は， $\boxed{\text{た}}\left\{\left(\boxed{\text{ち}}\right)^N+\boxed{\text{つ}}\left(\boxed{\text{て}}\right)^N+\boxed{\text{と}}\left(\boxed{\text{な}}\right)^N\right\}$ である。ただし， $\boxed{\text{ち}}>\boxed{\text{て}}>\boxed{\text{な}}$ とする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) 赤玉の個数の確率赤玉が4個のときは計6個から2個を選び、赤2個を取り出す確率が $\displaystyle \binom42/\binom62=2/5$ である。赤2個を取り出さない場合は袋に戻るので状態4にとどまる。赤玉が2個の状態では袋の玉は4個であり、赤2個を取り出す確率は $\displaystyle 1/\binom42=1/6$ 、状態2にとどまる確率は $5/6$ である。したがって $\displaystyle p_{n+1}=\frac35p_n,\qquad q_{n+1}=\frac25p_n+\frac56q_n, \qquad p_0=1,\ q_0=0.$ よって $p_n=(3/5)^n$ 。また漸化式を繰り返すと $\displaystyle q_n=\frac25\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac56\right)^{n-1-j}\left(\frac35\right)^j =\frac{12}{7}\left\{\left(\frac56\right)^n-\left(\frac35\right)^n\right\}.$ 赤玉が初めて0個となるのは、その直前が状態2で、次の操作で赤2個を取り出す場合に限られる。したがって $\displaystyle \Pr(\text{初めて操作 }n\text{ 回後に赤0個})=\frac16q_{n-1} =\frac27\left\{\left(\frac56\right)^{n-1}-\left(\frac35\right)^{n-1}\right\}.$

(2) 期待値と分散 $\displaystyle E(X_n)=6p_n+\frac72q_n =6\left(\frac56\right)^n.$ 二乗の期待値は $\displaystyle E(X_n^2)=36p_n+\frac{49}{4}q_n =21\left(\frac56\right)^n+15\left(\frac35\right)^n.$ したがって $\displaystyle \begin{aligned} V(X_n)&=E(X_n^2)-\{E(X_n)\}^2\\ &=21\left(\frac56\right)^n+15\left(\frac35\right)^n-36\left(\frac{25}{36}\right)^n\\ &=3\left\{7\left(\frac56\right)^n-12\left(\frac{25}{36}\right)^n+5\left(\frac35\right)^n\right\}. \end{aligned}$ 底の大小は $5/6>25/36>3/5$ である。

(3) 得点の期待値初めて赤玉が0個になる時刻が $n$ なら得点は $2^{N-n}$ 点なので、期待値は $\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n=1}^N2^{N-n}\frac27\left\{\left(\frac56\right)^{n-1}-\left(\frac35\right)^{n-1}\right\} &=\frac27\left\{\frac{2^N-(5/6)^N}{2-5/6}-\frac{2^N-(3/5)^N}{2-3/5}\right\}\\ &=\frac2{49}\left\{2^N-6\left(\frac56\right)^N+5\left(\frac35\right)^N\right\}. \end{aligned}$

解答 $\displaystyle \begin{gathered} \text{あ}=\frac35,\ \text{い}=\frac25,\ \text{う}=\frac56,\quad \text{え}=\left(\frac35\right)^n,\ \text{お}=\frac{12}{7},\ \text{か}=\frac56,\ \text{き}=\frac35,\\ \text{く}=\frac27\left\{\left(\frac56\right)^{n-1}-\left(\frac35\right)^{n-1}\right\},\quad \text{け}=6\left(\frac56\right)^n,\\ \text{こ}=7,\ \text{さ}=\frac56,\ \text{し}=-12,\ \text{す}=\frac{25}{36},\ \text{せ}=5,\ \text{そ}=\frac35,\\ \text{た}=\frac2{49},\ \text{ち}=2,\ \text{つ}=-6,\ \text{て}=\frac56,\ \text{と}=5,\ \text{な}=\frac35. \end{gathered}$

この問題で使う考え方

組合せ
確率の基本法則
漸化式
等比数列の一般項と和
確率変数の平均・分散・標準偏差
期待値

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