3福井大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$\vec a,\vec b,\vec c$は立方体の互いに垂直な長さ$1$の辺ベクトルなので、これらを座標軸にとる。点を$x\vec a+y\vec b+z\vec c$と表す。 (1) $\displaystyle M=(0,0,\frac23)$、$G=(0,1,1)$であり、$GN:NB=2:1$より$\displaystyle N=(0,1,\frac13)$。平面$\alpha$の方程式を$ux+vy+wz=1$とおく。$A=(1,0,0), M, N$を代入すると$\displaystyle u=1, v=\frac12, w=\frac32$だから、 $$\displaystyle \alpha:\ x+\frac y2+\frac{3z}{2}=1.$$ $BD$上の点は$(t,1,0)$と表せるので、$\displaystyle t+\frac12=1$から$\displaystyle L=(\frac12,1,0)$。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OL}=\frac12\vec a+\vec b.$$ $MN$上の点は$\displaystyle (0,t,\frac23-\frac t3)$、$AL$上の点は$\displaystyle (1-\frac s2,s,0)$と表せる。交点では$\displaystyle 1-\frac s2=0$なので$s=2$。このとき$t=2$となり$P=(0,2,0)$だから $$\overrightarrow{OP}=2\vec b.$$

(2) $\alpha$の法線ベクトルを$\displaystyle \vec n=\vec a+\frac12\vec b+\frac32\vec c$とする。原点からの垂線の足$H$は$\overrightarrow{OH}=\lambda\vec n$と表され、点$H$が平面$\alpha$上にあることから$\vec n\cdot\overrightarrow{OH}=1$。また$\displaystyle |\vec n|^2=1+\frac14+\frac94=\frac72$だから$\displaystyle \lambda=\frac27$。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac27\vec a+\frac17\vec b+\frac37\vec c,\qquad |OH|=\frac1{|\vec n|}=\sqrt{\frac27}.$$

(3) 切断面は四角形$ALNM$である。O側の立体を四面体$OBLN, OALN, OANM$に分ける。各四面体の体積を順に求める。$\triangle OBN$の面積は$\displaystyle \frac16$、$L$から平面$x=0$までの距離は$\displaystyle \frac12$なので $$\displaystyle V_{OBLN}=\frac13\cdot\frac16\cdot\frac12=\frac1{36}.$$ $\triangle OAL$の面積は$\displaystyle \frac12$、$N$から平面$z=0$までの距離は$\displaystyle \frac13$なので $$\displaystyle V_{OALN}=\frac13\cdot\frac12\cdot\frac13=\frac1{18}.$$ $\triangle OAM$の面積は$\displaystyle \frac13$、$N$から平面$y=0$までの距離は$1$なので $$\displaystyle V_{OANM}=\frac13\cdot\frac13\cdot1=\frac19.$$ 以上から、求める体積は $$\displaystyle \frac1{36}+\frac1{18}+\frac19=\frac7{36}.$$

単位辺ベクトル$\vec a,\vec b,\vec c$を座標軸とする。$M=(0,0,2/3)$、$N=(0,1,1/3)$から平面$\alpha$は$x+y/2+3z/2=1$。$BD$上で$z=0,y=1$より$L=(1/2,1,0)$。$MN$と$AL$の交点は$P=(0,2,0)$。法線$\vec n=(1,1/2,3/2)$を用いた原点からの射影は$\overrightarrow{OH}=(2/7,1/7,3/7)$、長さ$\sqrt{2/7}$。切断面$ALNM$のO側を3四面体$OBLN,OALN,OANM$に分け、体積は$1/36+1/18+1/9=7/36$。