1昭和大学 2022年 数学 第1問解答・解説

複素数 $\alpha$ の軌跡 $\displaystyle z=\cos\frac{\pi}{9}+i\sin\frac{\pi}{9}$ だから、ド・モアブルの定理より $$\displaystyle z^3=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i, \qquad 2z^3=1+\sqrt3 i.$$ これを $2\alpha z^3=(1-t)\alpha+t$ に代入して整理すると $$(1+\sqrt3 i)\alpha=(1-t)\alpha+t, \qquad (t+\sqrt3 i)\alpha=t.$$ 実数 $t$ に対して $t^2+3>0$ なので $$\displaystyle \alpha=\frac{t}{t+\sqrt3 i} =\frac{t^2}{t^2+3}-\frac{\sqrt3 t}{t^2+3}i.$$ $\alpha=x+yi$ とおけば $\displaystyle x=\frac{t^2}{t^2+3}$、$\displaystyle y=-\frac{\sqrt3t}{t^2+3}$ であり、 $$\displaystyle x^2+y^2=\frac{t^4+3t^2}{(t^2+3)^2}=\frac{t^2}{t^2+3}=x.$$ 従って $\displaystyle (x-\frac12)^2+y^2=\frac14$ となる。さらに $\alpha=1$ は $(t+\sqrt3i)\alpha=t$ を満たさないので軌跡から除かれる。逆に、この円上で $x+yi\ne1$ とすると $x^2+y^2=x$ であり、 $$\displaystyle t=-\frac{\sqrt3y}{1-x}$$ とおける。このとき $\displaystyle t^2+3=\frac3{1-x}$ だから $\displaystyle \frac{t^2}{t^2+3}=x$、$\displaystyle -\frac{\sqrt3t}{t^2+3}=y$ となる。よって円周上の点は $1$ を除いてすべて得られ、中心は $\displaystyle \frac12$、半径は $\displaystyle \frac12$ である。

複素数 $\beta$ の軌跡と $\gamma$ $t=0$ では $\alpha=0$ となり $\beta=z^6/\alpha$ は定義されないので、ここでは $\alpha\ne0$ とする。$\displaystyle c=z^6=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ とおくと、$\alpha=c/\beta$ である。円の条件 $|\alpha|^2=\operatorname{Re}\alpha$ に代入し、$|c|=1$ を用いると $$\displaystyle \frac1{|\beta|^2}=\operatorname{Re}\left(\frac{c\overline\beta}{|\beta|^2}\right), \qquad \operatorname{Re}(c\overline\beta)=1.$$ $\beta=u+vi$ とおけば $\displaystyle \operatorname{Re}(c\overline\beta)=\frac{-u+\sqrt3v}{2}$ だから、軌跡は直線 $-u+\sqrt3v=2$ 上にある。逆に、この直線上の点で $\beta\ne c$ とすれば $\alpha=c/\beta$ は上の円上にあり、$\alpha\ne0,1$ であるから、得られる $\beta$ の軌跡はこの直線から $c$ を除いたものとなる。実軸との交点では $v=0$ なので $u=-2$、従って $\gamma=-2$ である。

偏角 $$\displaystyle 1-\frac{z^6}{\gamma}=1+\frac{c}{2} =\frac34+\frac{\sqrt3}{4}i.$$ これは第1象限にあり、虚部と実部の比は $1/\sqrt3$ である。従って指定された範囲 $-\pi<\theta\le\pi$ で $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$ となる。

検算 $t=1$ とすると $\displaystyle \alpha=\frac{1-i\sqrt3}{4}$ であり、$\displaystyle |\alpha-\frac12|=\frac12$、$\alpha\ne1$ である。また $z^6/\alpha=-2$ となるので、実軸交点の値も確認できる。