1岡山大学 2019年 数学 第1問解答・解説

1回ごとにAの得点は $0,1,2$ のいずれかであり、それぞれの確率は $\displaystyle \frac13$ である。また、各回の結果は独立である。

(1)　 Aの得点が3となる3回分の並びは、$(2,1,0)$ の並べ替え6通りと $(1,1,1)$ の1通りで、合計7通りである。したがって、求める確率は $$\displaystyle \frac{7}{3^3}=\frac{7}{27}.$$

(2)　 5回の得点の合計を5とする。2点を得る回数と0点を得る回数は等しい。両者を $k$ 回とすると、$k=0,1,2$ であり、それぞれの並びの数は $$\displaystyle \begin{array}{c|c} k&\text{並びの数}\\\hline 0&1\\ 1&\binom51\binom41=20\\ 2&\binom52\binom32=30 \end{array}$$ である。よって該当する並びは $1+20+30=51$ 通りだから、確率は $$\displaystyle \frac{51}{3^5}=\frac{51}{243}=\frac{17}{81}.$$

(3)　 Aが勝った回数を $W_A$、Bが勝った回数を $W_B$ とする。あいこの回は両者に同じ1点が加わるので、$a_5\ge b_5$ であることは $W_A\ge W_B$ と同値である。A勝ち、あいこ、B勝ちの各結果の確率は等しく、AとBを交換すると $W_A>W_B$ と $W_A<W_B$ の確率は等しい。$W_A=W_B$ となる並びの数は、両者がそれぞれ $k$ 回勝つ場合 $k=0,1,2$ について $$\displaystyle 1+\binom51\binom41+\binom52\binom32=51$$ 通りであり、その確率は $51/3^5=51/243$ である。したがって $$\displaystyle P(W_A\ge W_B)=\frac{1+P(W_A=W_B)}{2} =\frac{1+51/243}{2}=\frac{49}{81}.$$