2岡山大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad x_3=\frac{1+b}{a},\qquad x_4=\frac{1+x_3}{b}=\frac{a+b+1}{ab},\qquad x_5=\frac{1+x_4}{x_3}=\frac{a+1}{b}.\\ x_6=\frac{1+x_5}{x_4}=\frac{1+(a+1)/b}{(a+b+1)/(ab)}=a,\qquad x_7=\frac{1+x_6}{x_5}=\frac{1+a}{(a+1)/b}=b.\\ \text{(2)}\quad x_1=a, x_2=b がともに自然数なので、a,b は正の整数である。(1)の式から、x_3,x_4,x_5 が自然数となる条件は\\ a\mid b+1,\qquad b\mid a+1,\qquad ab\mid a+b+1 \tag{1}\\ である。また x_6=x_1, x_7=x_2 だから、漸化式により以後も同じ5項が繰り返される。したがって (1) は全ての x_n が自然数となるための必要十分条件である。(1)の条件は a,b について対称なので、a\le b として調べる。b=1 なら a=1 である。b\ge2 なら、b\mid a+1 と 2\le a+1\le b+1 より a+1=b である。さらに a\mid b+1=a+2 より a\mid2、したがって a=1 または a=2 であり、候補は (a,b)=(1,2),(2,3) となる。これらではそれぞれ ab\mid a+b+1 は 2\mid4、6\mid6 と成り立つ。(1,1) でも (1) の全条件が成り立つ。対称性から (2,1),(3,2) も得られる。以上より求める組は (1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2) である。$$