6長崎大学 2009年 数学 第6問解答・解説

$x=\cos\alpha$ とおくと、条件より $0<x<1$ である。

$0\leq s,t\leq1$ として、$R=(1-s)\vec a+s\vec b$、$P=t\vec c$ とおく。$\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=0$、$|\vec a|=1$、$|\vec b|=|\vec c|=\sqrt3$、$\vec b\cdot\vec c=3x$ だから、 $$PR^2=|(1-s)\vec a+s\vec b-t\vec c|^2=(1-s)^2+3s^2+3t^2-6stx.$$ これを平方完成すると、 $$PR^2=(1-s)^2+3(t-sx)^2+3s^2(1-x^2).$$ 固定した $s$ に対して $t=sx$ は $0\leq t\leq1$ を満たすので、まずこのとき最小となる。$D=4-3x^2=1+3(1-x^2)$ とおけば、 $$\displaystyle (1-s)^2+3s^2(1-x^2)=D\left(s-\frac1D\right)^2+\frac{3(1-x^2)}D.$$ $1<D<4$ より $s=1/D$ は線分上にあり、$t=x/D$ も $0<t<1$ である。したがって最小値は実際に線分上で得られ、$PR^2=3(1-x^2)/(4-3x^2)$。よって (1) の答えを得る。

次に、$\displaystyle M=\frac12\vec a$、$\displaystyle N=\frac9{14}\vec b+\frac5{14}\vec c$ である。(1) の最小位置では $s=1/D$、$t=x/D$ なので、$\displaystyle P=\frac{x}{D}\vec c$、$\displaystyle R=\frac{D-1}{D}\vec a+\frac1D\vec b$。線分 $PR$ 上の点を $Q=(1-u)P+uR$、線分 $MN$ 上の点を $Q=(1-v)M+vN$（$0\leq u,v\leq1$）と表す。$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立だから、係数を比較して $$\displaystyle u\frac{D-1}{D}=\frac{1-v}{2},\qquad \frac{u}{D}=\frac{9v}{14},\qquad (1-u)\frac{x}{D}=\frac{5v}{14}$$ を得る。第2、第3式から $v=14u/(9D)$、$u=9x/(5+9x)$。これを第1式に代入すると $$\displaystyle D=u\left(6(1-x^2)+\frac{14}{9}\right),\qquad (4-3x^2)(5+9x)=x(68-54x^2).$$ 整理して $$(3x-2)(x-1)(9x+10)=0.$$ $0<x<1$ より候補は $x=2/3$ のみである。このとき $u=6/11$、$v=7/22$ となり、どちらも $0$ と $1$ の間にあるため、実際に線分 $PR$ と線分 $MN$ は交わる。したがって (2) の答えは $x=2/3$ である。