1信州大学 2025年 数学 第1問解答・解説

単元・方法・テーマ

数学I「数と式・不等式」：左辺と右辺の差を因数分解し、順序条件から各因子の符号を確認する。テーマは順序づけられた実数の積の不等式。

(1) 左辺から右辺を引くと $$ap+bq-(aq+bp)=ap-aq+bq-bp=(b-a)(q-p).$$ $a\le b$ かつ $p\le q$ だから $b-a\ge0$、$q-p\ge0$。よって $$ap+bq-(aq+bp)=(b-a)(q-p)\ge0,$$ すなわち $ap+bq\ge aq+bp$。

(2) 右辺から左辺を引いて整理すると $$\begin{aligned} &3(ap+bq+cr)-(a+b+c)(p+q+r)\\ &\quad=(b-a)(q-p)+(c-b)(r-q)+(c-a)(r-p). \end{aligned}$$ 実際、右辺を展開すれば上の左辺になる。条件 $a\le b\le c$ から $b-a\ge0$、$c-b\ge0$、$c-a\ge0$ であり、$p\le q\le r$ から $q-p\ge0$、$r-q\ge0$、$r-p\ge0$。従って右辺は3つの非負数の和なので $$3(ap+bq+cr)-(a+b+c)(p+q+r)\ge0.$$ これを移項すれば $$(a+b+c)(p+q+r)\le3(ap+bq+cr)$$ を得る。