日本医科大学 2007年数学第II問解答・解説

1問題

日本医科大学2007年度第II問

$k$ を正の定数とし， $a+b=k$ ， $a>0$ ， $b>0$ を満たす点 $(a,b)$ の全体を $S$ とする。

(1)，(2) 各々について，次のような点 $(x,y)$ が存在するときは，その範囲を求め， $xy$ 平面上に図示せよ。存在しないときは，その理由を述べよ。　 (1) 「任意の $(a,b)\in S$ について $x^{2}+y^{2}<a^{2}+b^{2}$ が成立する」を満たす $(x,y)$ 。　 (2) 「任意の $(a,b)\in S$ について $0<xy<ab$ が成立する」を満たす $(x,y)$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle x^2+y^2<\frac{k^2}{2}$ （原点中心、半径 $\displaystyle \frac{k}{\sqrt2}$ の開円盤）
(2)
該当する点は存在しない

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1)　 $\displaystyle a^2+b^2=k^2-2ab\ge\frac{k^2}{2},\quad \min\limits _{(a,b)\in S}(a^2+b^2)=\frac{k^2}{2}$ . Sに属するすべての点(a,b)についてx^2+y^2<a^2+b^2が成り立つための必要十分条件は、x^2+y^2<k^2/2である。

(2)　 $xy>0,\quad ab=\varepsilon(k-\varepsilon)\to0^+\quad(\varepsilon\to0^+)$ となるため、条件を満たす点はない.

Sでabはa+b=kのもとで最大k²/4をa=b=k/2でとる。したがってa²+b²=(a+b)²−2ab=k²−2abの最小値はk²/2で、最小は実際にSで達成される。全ての(a,b)に対して厳密不等式x²+y²<a²+b²が成り立つための必要十分条件はx²+y²<k²/2。問(2)ではxy>0を要する一方、a=ε,b=k−εとすればab=ε(k−ε)はいくらでも0に近づく。固定された正のxyを全てのabより小さくすることはできないので解なし。

(1)の領域。破線の円周を含まない開円盤である。

k>0。xy平面上で原点中心、半径k/√2の開円盤x²+y²<k²/2を青く塗る。円周は青い破線で含まない。各軸の正負の切片を±k/√2と記号で示し、白丸で除外する。縦横を同じ縮尺とし、半径で正規化して描画した記号図。k=1を仮定した数値図ではない。

この問題で使う考え方

a+b一定のもとでabを評価
端点への極限による不存在証明

1問題

2答え

3解答

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