I日本医科大学 2007年 数学 第I問解答・解説

日本医科大学 2007年度 数学 Q1

$0<a<e$ とし $$\displaystyle f(k)=\int_a^e(\log x-kx)^2\,dx$$ とする。平方を展開すれば $$\displaystyle f(k)=Ak^2-2Bk+C, \quad A=\int_a^e x^2\,dx>0,\quad B=\int_a^e x\log x\,dx,\quad C=\int_a^e(\log x)^2\,dx.$$ 従って $$\displaystyle f(k)=A\left(k-\frac BA\right)^2+C-\frac{B^2}{A}$$ となり、唯一の最小値を与えるのは $k_0=B/A$ である。

(1) $k_0$ の計算

部分積分により $$\displaystyle \int x\log x\,dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}.$$ また $\log e=1$ なので $$\displaystyle B=\frac{e^2}{4}-\frac{a^2}{2}\log a+\frac{a^2}{4} =\frac{e^2+a^2-2a^2\log a}{4}, \qquad A=\frac{e^3-a^3}{3}.$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{k_0=\frac{3(e^2+a^2-2a^2\log a)}{4(e^3-a^3)}}.$$

(2) $a\to+0$ の極限

$0<a<1$ とする。与えられた不等式を $x=a$ に使うと $$a^2\log a\ge a^2-a.$$ 同じ不等式を $x=1/a$ に使うと $$-\log a=\log(1/a)\ge1-a, \qquad a^2\log a\le a^3-a^2.$$ 両端はいずれも $a\to+0$ で0に収束するので、はさみうちにより $a^2\log a\to0$。また $a^2\to0,\ a^3\to0$ であるから (1) の式から $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{a\to+0} k_0 =\frac{3e^2}{4e^3} =\frac{3}{4e}}.$$

**使用解法:** $k$ の二次式として平方完成し最小点を決定、部分積分で係数を計算、許可された対数不等式による極限のはさみうち。

**issues:** なし。