1鹿児島大学 2009年 数学 第1問解答・解説

(1)(a) $x=-1,y=-2$ とすると $x\ge y$ だが $x^2=1<4=y^2$。よって偽。

(b) $x,y\ge0$ なら $x+y\ge0$。$x+y=0$ なら $x=y=0$ で結論は成立する。$x+y>0$ なら $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)\ge0$$ を正の $x+y$ で割り、$x-y\ge0$ を得る。よって真。

(2) $20!$ に含まれる2の個数は、2の倍数から1個ずつ、4の倍数から追加で1個ずつ、8の倍数、16の倍数からも同様に数えて $$\displaystyle m=\left\lfloor\frac{20}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{16}\right\rfloor=10+5+2+1=18。$$

(3) 1〜5の数字を3で割った余りごとに分けると、余り0は1個、余り1と2は各2個。3桁の余りの和が0になるのは、全て0、全て1、全て2、または0・1・2を一つずつ使う場合。したがって $$1^3+2^3+2^3+3!\cdot1\cdot2\cdot2=41$$ 個。

(4) $M$ を原点、$BC$ を $x$ 軸とし、$B=(-d,0),C=(d,0),A=(p,q)$（$d,q>0$）と置く。$AB\ne AC$ より $p\ne0$。外心は $O=(0,t)$ で、$OA=OB$ から $$\displaystyle t=\frac{p^2+q^2-d^2}{2q}。$$ 鋭角三角形では外心は内部にあるため $t>0$。重心は $G=(p/3,q/3)$。直線 $OG$ 上を $O+\lambda(G-O)$ と表すと、$A$ からの垂線 $x=p$ との交点では $\lambda p/3=p$、すなわち $\lambda=3$。よって $H=(p,q-2t)$ であり、$AH=2t, OM=t$。従って $AH:OM=2:1$。

答え

(1)(a) 偽、反例 $(x,y)=(-1,-2)$。(b) 真。 (2) $m=18$。 (3) $41$ 個。 (4) $AH:OM=2:1$。