4鹿児島大学 2009年 数学 第4問解答・解説

第$k$群の第$r$項は，分子が$r$，分母が$k-r+1$の分数である。したがって，$\displaystyle \frac{n}{m}$は$k-r+1=m$，$r=n$を満たすので，$k=n+m-1$であり，第$n$項である。

第$k$群より前の項数は$\displaystyle 1+2+\cdots +(k-1)=\frac{k(k-1)}{2}$である。よって，$\displaystyle \frac{n}{m}$が先頭から現れる順番は$\displaystyle \frac{(n+m-1)(n+m-2)}{2}+n$番目となる。

第$k$群までの項数は$\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}$であり，$\displaystyle \frac{44\cdot45}{2}=990<1000\leq\frac{45\cdot46}{2}=1035$である。したがって1000番目の項は第45群の第$1000-990=10$項である。第45群の第10項は$\displaystyle \frac{10}{45-10+1}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$だから，$\displaystyle a=\frac{5}{18}$である。

$a$と等しい項を$\displaystyle \frac{p}{q}$（$p,q$は正の整数）とする。$\displaystyle \frac{p}{q}=\frac{5}{18}$より$18p=5q$である。5と18は互いに素なので，ある正の整数$t$を用いて$p=5t,\ q=18t$と表せる。この項が属する群は$p+q-1=23t-1$群であり，最初に現れるのは$t=1$の場合，すなわち第22群の第5項である。第22群より前の項数は$\displaystyle 1+2+\cdots+21=\frac{21\cdot22}{2}=231$だから，求める順番は$231+5=236$番目である。