3秋田大学 2009年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle q=\frac{2}{9}$ とおく。漸化式から $$\displaystyle a_{2n+1}=\frac{2}{9}a_{2n-1},\qquad a_{2n-1}=\frac{1}{3}q^{n-1},\qquad a_{2n}=q^n.$$ したがって $$\displaystyle \text{(i)}\quad \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{2n-1}=\frac{1}{3}\sum\limits _{n=1}^{\infty}q^{n-1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-q}=\frac{3}{7}.$$ 次に $$\displaystyle T_{2n}=\sum\limits _{j=1}^{n}\bigl((2j-1)a_{2j-1}+2j a_{2j}\bigr) =\frac{1}{3}\sum\limits _{j=1}^{n}(2j-1)q^{j-1}+2\sum\limits _{j=1}^{n}j q^j.$$ $\displaystyle U_m=\sum\limits _{j=1}^m j q^{j-1}$ とおいて $U_m-qU_m$ を引き算すると、$(1-q)U_m=(1-q^m)/(1-q)-m q^m$ となる。これより有限和の公式 $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{m}j q^{j-1}=\frac{1-(m+1)q^m+m q^{m+1}}{(1-q)^2}$$ と $m q^m\to0$ を用いると、$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{\infty}j q^{j-1}=1/(1-q)^2$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{n\to\infty}T_{2n} &=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{(1-q)^2}-\frac{1}{1-q}\right)+\frac{2q}{(1-q)^2}\\ &=\frac{33}{49}+\frac{36}{49}=\frac{69}{49}. \end{aligned}$$ 以上より、(i) の和は $3/7$、(ii) の極限は $69/49$ である。