2秋田大学 2009年 数学 第2問解答・解説

(i) $s=x+y,\ t=xy$ とおく。$x^2+y^2=s^2-2t\le1$ から $\displaystyle t\ge\dfrac{s^2-1}{2}$ であり、$(x-y)^2=s^2-4t\ge0$ から $\displaystyle t\le\dfrac{s^2}{4}$ である。上下限の両立条件は $s^2\le2$、すなわち $-\sqrt2\le s\le\sqrt2$ となる。逆にこの範囲で両不等式を満たすとき、$u^2-su+t=0$ は判別式 $s^2-4t\ge0$ をもち、実数の根 $x,y$ をとる。このとき $x^2+y^2=s^2-2t\le1$ なので、この条件は十分でもある。求める領域は $$\displaystyle -\sqrt2\le s\le\sqrt2,\qquad \frac{s^2-1}{2}\le t\le\frac{s^2}{4}$$ である。$st$ 平面では、下側の放物線 $t=(s^2-1)/2$ と上側の放物線 $t=s^2/4$ の間を、交点 $(\pm\sqrt2,1/2)$ を含めて塗る。

(ii) $(a-x)(a-y)=a^2-as+t$ であり、固定した $s$ についてこれは $t$ の増加関数だから、最小値は $t=(s^2-1)/2$ のときにとる。したがって $$\displaystyle a^2-as+\frac{s^2-1}{2}=\frac{(s-a)^2}{2}+\frac{a^2-1}{2},\qquad -\sqrt2\le s\le\sqrt2.$$ $0\le a\le\sqrt2$ なら頂点 $s=a$ が区間内にあり $M(a)=(a^2-1)/2$。$a\ge\sqrt2$ なら最も近い許容値は $s=\sqrt2$ なので $M(a)=a^2-\sqrt2a+1/2$。

(iii) 表の枚数 $b$ は $0,1,2,3$ をそれぞれ確率 $1/8,3/8,3/8,1/8$ でとる。(ii)から $$\displaystyle M(0)=-\frac12,\quad M(1)=0,\quad M(2)=\frac92-2\sqrt2,\quad M(3)=\frac{19}{2}-3\sqrt2.$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} \mathbb E[M] &=\frac18\left(M(0)+3M(1)+3M(2)+M(3)\right)\\ &=\frac18\left(-\frac12+3\left(\frac92-2\sqrt2\right)+\frac{19}{2}-3\sqrt2\right)\\ &=\frac{45}{16}-\frac{9\sqrt2}{8} =\frac{9(5-2\sqrt2)}{16}. \end{aligned}$$