1秋田大学 2009年 数学 第1問解答・解説

$r>0$ とし、正三角形の重心 $G$ を原点とする。頂点への位置ベクトルを $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$、点 $P$ への位置ベクトルを $\boldsymbol p$ とする。一辺が $\sqrt3r$ の正三角形の外接円半径は $r$ なので $$\displaystyle \boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c=\boldsymbol0,\quad |\boldsymbol a|=|\boldsymbol b|=|\boldsymbol c|=r,\quad \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b =\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c =\boldsymbol c\cdot\boldsymbol a=-\frac{r^2}{2}.$$ また $\overrightarrow{PA}=\boldsymbol a-\boldsymbol p$ などである。

(i) 定義式の3つの二乗を展開すると、一次の項はベクトル和が0なので消え、 $$\begin{aligned} s&=|\boldsymbol a-\boldsymbol p|^2+ |\boldsymbol b-\boldsymbol p|^2+ |\boldsymbol c-\boldsymbol p|^2\\ &=3r^2-2\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c) +3|\boldsymbol p|^2 =3(|\boldsymbol p|^2+r^2). \end{aligned}$$

(ii) 3つの内積を展開して同じく一次の項を消すと $$\displaystyle \begin{aligned} t&=(\boldsymbol a-\boldsymbol p)\cdot(\boldsymbol b-\boldsymbol p) +(\boldsymbol b-\boldsymbol p)\cdot(\boldsymbol c-\boldsymbol p) +(\boldsymbol c-\boldsymbol p)\cdot(\boldsymbol a-\boldsymbol p)\\ &=\left(-\frac{3r^2}{2}\right) -2\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c) +3|\boldsymbol p|^2 =3|\boldsymbol p|^2-\frac{3r^2}{2}. \end{aligned}$$

(iii) 条件をそれぞれ代入すると $$\displaystyle s\geq\frac{15r^2}{4}\text{、すなわち }|\boldsymbol p|^2\geq\frac{r^2}{4}, \qquad t\leq\frac{3r^2}{2}\text{、すなわち }|\boldsymbol p|^2\leq r^2.$$ したがって領域は $$\displaystyle \boxed{\frac r2\leq|GP|=|\boldsymbol p|\leq r,}$$ すなわち $G$ を中心とする内半径 $r/2$、外半径 $r$ の閉円環である。

図を描くため $r=2$ とし、$A=(2,0), B=(-1,\sqrt3), C=(-1,-\sqrt3), G=(0,0)$ と置く。灰色部分が求める領域である。