3鹿児島大学 2011年 数学 第3問解答・解説

$\vec{x}=\overrightarrow{AB},\quad \vec{y}=\overrightarrow{BC},\quad \vec{z}=\overrightarrow{CD},\quad \vec{w}=\overrightarrow{DA}$とおく。四角形を一周すると$\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}+\vec{w}=\vec{0}$なので、$\vec{w}=-(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z})$。条件①から$\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{z}\cdot\vec{w}=-\vec{z}\cdot(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z})$、よって$\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z}+\vec{y}\cdot\vec{z}=-|\vec{z}|^2$。条件②から$\vec{w}\cdot\vec{x}=\vec{y}\cdot\vec{z}$、よって$-|\vec{x}|^2-\vec{x}\cdot\vec{y}-\vec{x}\cdot\vec{z}=\vec{y}\cdot\vec{z}$、すなわち$\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z}+\vec{y}\cdot\vec{z}=-|\vec{x}|^2$。したがって$|\vec{x}|^2=|\vec{z}|^2$で、$AB=CD$である。また、$|\vec{w}|^2=|\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}|^2=|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+|\vec{z}|^2+2(\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z}+\vec{y}\cdot\vec{z})=|\vec{y}|^2$（$|\vec{x}|=|\vec{z}|$と上の内積和を代入）なので、$DA=BC$である。対角線ACを共有する三角形ABCとCDAは、三辺がそれぞれ等しいから合同であり、四角形の向かい合う辺は平行となる。ゆえにABCDは平行四辺形である。