4鹿児島大学 2011年 数学 第4問解答・解説

・ $f(x)=\sin(2\pi x)$ は連続で，周期は $1$ である。また $$\displaystyle \int_0^1\sin(2\pi x)\,dx=\left[-\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi x)\right]_0^1=0$$ であり，恒等的に $0$ ではない。

・ $f$ は周期 $1$ で，$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=0$ である。任意の実数 $x$ を $x=m+r$（$m$ は整数，$0\le r<1$）と書くと，周期性より $$\displaystyle \int_x^{x+1}f(t)\,dt=\int_r^{r+1}f(t)\,dt =\int_r^1 f(t)\,dt+\int_0^r f(t)\,dt =\int_0^1f(t)\,dt=0.$$ したがって $$\displaystyle F(x+1)-F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt=0,$$ ゆえに $F(x+1)=F(x)$ であり，$F$ も周期 $1$ の周期関数である。

・ $f$ は連続なので，微積分の基本定理から $F'(x)=f(x)$ である。合成関数の微分法により $$\displaystyle \frac{d}{dx}F(nx)=nF'(nx)=nf(nx).$$

・ $u=nx$ と置換すると $$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^2}\int_0^n u f(u)\,du =\frac{1}{n^2}\sum\limits _{j=0}^{n-1}\int_j^{j+1}u f(u)\,du.$$ 各項で $u=v+j$ と置き，$f(v+j)=f(v)$ と $\displaystyle \int_0^1 f(v)\,dv=0$ を用いると $$\displaystyle \int_j^{j+1}u f(u)\,du =\int_0^1(v+j)f(v)\,dv =\int_0^1v f(v)\,dv.$$ よって $$\displaystyle a_n=\frac{1}{n}\int_0^1v f(v)\,dv\longrightarrow 0 \qquad(n\to\infty),$$ 右辺の積分は連続関数の定積分なので有限の定数である。