4秋田大学 2009年 数学 第4問解答・解説

(i)

積分式を $$\displaystyle f(x)=\int_0^x t g(t)\,dt-x\int_0^x g(t)\,dt$$ と分け、微積分の基本定理を用いると $$\displaystyle f'(x)=xg(x)-\int_0^x g(t)\,dt-xg(x)=-\int_0^x g(t)\,dt, \qquad f''(x)=-g(x).$$ したがって $f'(0)=0$ であり、与式から $f'(0)=-1+\alpha$ なので $\alpha=1$。また $f''(x)=\sin x$ より $g(x)=-\sin x$ である。実際、 $$\displaystyle \int_0^x(t-x)(-\sin t)\,dt=x-\sin x$$ となり、与式に一致する。

(ii)

$h(x)=e^{-x}|\sin x|$ である。$0<x<\pi$ では $$h'(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x),$$ したがって $0<x<\pi/4$ で増加し、$\pi/4<x<\pi$ で減少する。$\pi<x<2\pi$ では $$h'(x)=e^{-x}(\sin x-\cos x),$$ したがって $\pi<x<5\pi/4$ で増加し、$5\pi/4<x<2\pi$ で減少する。$x=\pi/4,5\pi/4$ で極大値 $$\displaystyle \frac{e^{-\pi/4}}{\sqrt{2}},\qquad \frac{e^{-5\pi/4}}{\sqrt{2}}$$ をとり、$x=\pi$ で極小値 $0$ をとる。

(iii)

積の微分法から $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left\{e^{-x}(\sin x+\cos x)\right\} =e^{-x}\{(\cos x-\sin x)-(\sin x+\cos x)\} =-2e^{-x}\sin x.$$

(iv)

$(2k-1)\pi<x<2k\pi$ では $\sin x<0$ だから、(iii)より $$\displaystyle I_k=\frac12\left[e^{-x}(\sin x+\cos x)\right]_{(2k-1)\pi}^{2k\pi} =\frac12\left(e^{-2k\pi}+e^{-(2k-1)\pi}\right).$$ $e^{-2\pi}<1$ より等比級数を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{n} I_k &=\frac12\left(\frac{e^{-2\pi}+e^{-\pi}}{1-e^{-2\pi}}\right)\\ &=\frac{1}{2(e^\pi-1)}. \end{aligned}$$

積分条件を微分してαとgを求める。h=e^(−x)|sin x|はsin xの符号ごとに微分式を分け、導関数の符号変化から増減・極値を確定する。指定関数の微分を使って$I_k$を端点値に直し、等比級数の和で極限を求める。